数量积判断两个平面向量的垂直关系
共68题

· 数量积判断两个平面向量的垂直关系

数量积判断两个平面向量的垂直关系
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题型：简答题

简答题 · 18 分

在平面直角坐标系中，已知曲线为到定点的距离与到定直线的距离相等的动点的轨迹，曲线是由曲线绕坐标原点按顺时针方向旋转形成的。

（1）求曲线与坐标轴的交点坐标，以及曲线的方程；

（2）过定点的直线交曲线于、两点，点是点关于原点的对称点，若，证明：。

正确答案

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解析

解析：（1）设，由题意，可知曲线为抛物线，并且有

，

化简，得抛物线的方程为：。

令，得或，

所以，曲线与坐标轴的交点坐标为、和，（3分）

点到的距离为，（2分）

所以是以为焦点，以为准线的抛物线，其方程为：，（3分）

（2）设，，由题意知直线的斜率存在且不为零，设直线的方程为，代入得

，。

由得

（3分）

，

，（4分）

故，（1分）

知识点

数量积判断两个平面向量的垂直关系

题型：简答题

简答题 · 18 分

已知定点，直线，点为坐标平面上的动点，过点作直线的垂线，垂足为点，且。

（1）求动点所在曲线的方程；

（2）直线过点与曲线交于两个不同点，求证：；

（3）记与的夹角为(O为坐标原点，为(2)中的两点)，求的最小值。

正确答案

见解析

解析

（1）设点的坐标为。（1分）

由题意，可得，，，，（3分）

由与垂直，得，即（）。（6分）

因此，所求曲线的方程为（）。

（2）因为过点的直线与曲线有两个不同的交点、，所以的斜率不为零，故设直线的方程为。（7分）

于是、的坐标、为方程组的实数解析：。

消并整理得，　　　　　（8分）

于是进一步得　　　　　　　　（10分）

又因为曲线（）的准线为，

所以，得证。（12分）

（3）由（2）可知，，。

于是，（16分）

可求得的最小值为。（18分）

知识点

数量积判断两个平面向量的垂直关系

题型：简答题

简答题 · 14 分

已知和，，且，求的值。

正确答案

解析

解析：

，（6分）

由，得（2分）

（2分）

或（2分）

，

（2分）

另解：

① （6分）

由，得，

（4分）

②

由①、②得（4分）

知识点

数量积判断两个平面向量的垂直关系

题型：填空题

填空题 · 5 分

已知向量，，在正方形网格中的位置如图所示，若=λ+μ（λ，μ∈R），则λ+μ=　　。

正确答案

﹣

解析

以的起点为原点，水平向右的方向为x轴的正方向，建立直角坐标系，

则 =（﹣1，1），=（3，3），=（﹣1，﹣3）。

再根据若=λ+μ（λ，μ∈R），可得（﹣1，﹣3）=（3μ﹣λ，λ+3μ），

∴3μ﹣λ=﹣1，λ+3μ=﹣3，解得 λ=﹣1，μ=﹣，则λ+μ=﹣，

知识点

数量积判断两个平面向量的垂直关系

题型：简答题

简答题 · 12 分

已知椭圆：（）的右焦点，右顶点,且。

（1）求椭圆的标准方程；

（2）若动直线：与椭圆有且只有一个交点，且与直线交于点,问：是否存在一个定点,使得.若存在，求出点坐标；若不存在，说明理由.

正确答案

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解析

由，，

椭圆C的标准方程为

得：，

,,即P.

又Q，，，

+=恒成立，故，即. 存在点M（1,0）适合题意.

知识点

数量积判断两个平面向量的垂直关系椭圆的定义及标准方程直线与圆锥曲线的综合问题圆锥曲线中的探索性问题

题型：填空题

填空题 · 5 分

已知向量的最小值为

正确答案

解析

因为，。所以的最小值为6。

知识点

数量积判断两个平面向量的垂直关系利用基本不等式求最值

题型：填空题

填空题 · 4 分

15. 已知圆：和直线交于两点，且.则的值为______。

正确答案

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知识点

数量积判断两个平面向量的垂直关系直线与圆相交的性质

题型：单选题

单选题 · 5 分

3.已知向量＝(x－5，3)，＝(2，x)，且⊥，则由x的值构成的集合是（）

正确答案

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知识点

元素与集合关系的判断数量积判断两个平面向量的垂直关系

题型：简答题

简答题 · 14 分

22．已知：向量，，

（1）若与垂直，求：的值；

（2）求：的最大值；

（3）若，求证：。

正确答案

（1）由与垂直，，

即，；

（2）

，

最大值为32，所以的最大值为。

（3）由得，

即，

所以

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知识点

两角和与差的正切函数向量的模平面向量共线（平行）的坐标表示平面向量数量积的运算数量积判断两个平面向量的垂直关系

题型：简答题

简答题 · 12 分

21.已知平面向量a=（–1）,b=（）。

（1）证明a⊥b；

（2）若存在不同时为零的实数k和t,使x=a+ （t2–3）b，y=–ka+tb，且x⊥y,试求函数关系式k=f（t）;

（3）据（2）的结论,讨论关于t的方程f（t）–k=0的解的情况。

正确答案

（1）证明：∵a·b==0，∴a⊥b

（2）解：∵x⊥y,∴x·y=0

即［a+（t2–3）b］·（–ka+tb）=0，整理后得

–ka2+［t–k（t2–3）］a·b+t（t2–3）·b2=0

∵a·b=0,a2=4,b2=1

∴上式化为–4k+t（t2–3）=0，∴k=t（t2–3）.

（3）解：讨论方程t（t2–3）–k=0的解的情况，可以看作曲线f（t）=t（t2–3）与直线y=k的交点个数

于是f′（t）=（t2–1）=（t+1）（t–1）.

令f′（t）=0,解得t1=–1,t2=1.当t变化时，f′（t）,f（t）的变化情况如下表：

当t=–1时，f（t）有极大值，f（t）极大值=；

当t=1时，f（t）有极小值，f（t）极小值=–.

而f（t）=（t2–3）t=0时，得t=–,0,。

所以f（t）的图象大致如下：

于是当k>或k<–时，直线y=k与曲线y=f（t）仅有一个交点，则方程有一解；

当k=或k=–时，直线与曲线有两个交点，则方程有两解；当k=0，直线与曲线有三个交点，但k、t不同时为零，故此时也有两解；当–<k<0或0<k<时，直线与曲线有三个交点，则方程有三个解。

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知识点

函数解析式的求解及常用方法利用导数研究函数的单调性数量积判断两个平面向量的垂直关系平面向量的综合题

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