数量积判断两个平面向量的垂直关系
共68题

· 数量积判断两个平面向量的垂直关系

数量积判断两个平面向量的垂直关系
共68题

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题型：简答题

简答题 · 18 分

在平面直角坐标系中，已知曲线为到定点的距离与到定直线的距离相等的动点的轨迹，曲线是由曲线绕坐标原点按顺时针方向旋转形成的。

（1）求曲线与坐标轴的交点坐标，以及曲线的方程；

（2）过定点的直线交曲线于、两点，点是点关于原点的对称点，若，证明：。

正确答案

见解析

解析

解析：（1）设，由题意，可知曲线为抛物线，并且有

，

化简，得抛物线的方程为：。

令，得或，

所以，曲线与坐标轴的交点坐标为、和，（3分）

点到的距离为，（2分）

所以是以为焦点，以为准线的抛物线，其方程为：，（3分）

（2）设，，由题意知直线的斜率存在且不为零，设直线的方程为，代入得

，。

由得

（3分）

，

，（4分）

故，（1分）

知识点

数量积判断两个平面向量的垂直关系

题型：简答题

简答题 · 18 分

已知定点，直线，点为坐标平面上的动点，过点作直线的垂线，垂足为点，且。

（1）求动点所在曲线的方程；

（2）直线过点与曲线交于两个不同点，求证：；

（3）记与的夹角为(O为坐标原点，为(2)中的两点)，求的最小值。

正确答案

见解析

解析

（1）设点的坐标为。（1分）

由题意，可得，，，，（3分）

由与垂直，得，即（）。（6分）

因此，所求曲线的方程为（）。

（2）因为过点的直线与曲线有两个不同的交点、，所以的斜率不为零，故设直线的方程为。（7分）

于是、的坐标、为方程组的实数解析：。

消并整理得，　　　　　（8分）

于是进一步得　　　　　　　　（10分）

又因为曲线（）的准线为，

所以，得证。（12分）

（3）由（2）可知，，。

于是，（16分）

可求得的最小值为。（18分）

知识点

数量积判断两个平面向量的垂直关系

题型：简答题

简答题 · 14 分

已知和，，且，求的值。

正确答案

解析

解析：

，（6分）

由，得（2分）

（2分）

或（2分）

，

（2分）

另解：

① （6分）

由，得，

（4分）

②

由①、②得（4分）

知识点

数量积判断两个平面向量的垂直关系

题型：填空题

填空题 · 5 分

已知向量，，在正方形网格中的位置如图所示，若=λ+μ（λ，μ∈R），则λ+μ=　　。

正确答案

﹣

解析

以的起点为原点，水平向右的方向为x轴的正方向，建立直角坐标系，

则 =（﹣1，1），=（3，3），=（﹣1，﹣3）。

再根据若=λ+μ（λ，μ∈R），可得（﹣1，﹣3）=（3μ﹣λ，λ+3μ），

∴3μ﹣λ=﹣1，λ+3μ=﹣3，解得 λ=﹣1，μ=﹣，则λ+μ=﹣，

知识点

数量积判断两个平面向量的垂直关系

题型：简答题

简答题 · 12 分

已知椭圆：（）的右焦点，右顶点,且。

（1）求椭圆的标准方程；

（2）若动直线：与椭圆有且只有一个交点，且与直线交于点,问：是否存在一个定点,使得.若存在，求出点坐标；若不存在，说明理由.

正确答案

见解析

解析

由，，

椭圆C的标准方程为

得：，

,,即P.

又Q，，，

+=恒成立，故，即. 存在点M（1,0）适合题意.

知识点

数量积判断两个平面向量的垂直关系椭圆的定义及标准方程直线与圆锥曲线的综合问题圆锥曲线中的探索性问题

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