热门试卷

（1）函数的定义域为，                             …………… 1分

因为，                        …………… 2分

令，解得，                                 …………… 3分

①  当时， 随着变化时，和的变化情况如下：

即函数在上单调递减，在上单调递增，   …………… 5分

②  当时， 随着变化时，和的变化情况如下：

即函数在上单调递增，在上单调递减，  …………… 7分

（2）当时，对于任意的，都有成立，

即。

所以。

设，

因为,                 …………… 8分

令，解得，                             …………… 9分

因为，

所以随着变化时，和的变化情况如下：

即函数在上单调递增，在上单调递减，   …………… 10分

所以，        …………… 11分

所以。

所以，                                           …………… 12分

所以的取值范围为，                                 ………13分

法二：

当时，对于任意的，都有成立，

即。

所以。

即，                                        …………… 8分

设，

因为,

令，解得，                                 …………… 9分

所以随着变化时，和的变化情况如下：

即函数在上单调递减，在上单调递增，   …………… 10分

所以，                 …………… 11分

所以。

所以，                                           …………… 12分

所以的取值范围为，                                  ………13分

（1）当即时，轨迹是以、为焦点的椭圆               

当时，轨迹是线段

当时，轨迹不存在

（2）以线段的中点为坐标原点，以所在直线为轴建立平面直角坐标系，

可得轨迹的方程为

①解法1：设表示点到线段的距离

，

要使的面积有最大值，只要有最大值

当点与椭圆的上顶点重合时，

的最大值为

解法2：在椭圆中，设，记

点在椭圆上，由椭圆的定义得：

在中，由余弦定理得：

配方，得：

从而

得

根据椭圆的对称性，当最大时，最大

当点与椭圆的上顶点重合时，

最大值为

②结论：当时，显然存在除、外的两点、关于直线对称

下证当与不垂直时，不存在除、外的两点、关于直线对称

证法1：假设存在这样的两个不同的点

设线段的中点为   直线

由于在上，故        ①

又在椭圆上，所以有

两式相减，得

将该式写为，

并将直线的斜率和线段的中点，表示代入该表达式中，

得     ②

①、②得，由（1）代入

得

即的中点为点，而这是不可能的.

此时不存在满足题设条件的点和.

证法2：假设存在这样的两个不同的点

，

则，故直线经过原点。

直线的斜率为，则假设不成立，

故此时椭圆上不存在两点（除了点、点外）关于直线对称

（1） 函数的定义域是.

由已知得，

当时, , 显然函数在上单调递增；

当时, ，令,解得或;

函数在和上单调递增，

综上所述:①当时,函数在上单调递增；

②当时,函数在和上单调递增；

(2)假设函数存在“中值相依切线”

设是曲线上的不同两点，且，

则，

曲线在点处的切线斜率

依题意得：

化简可得： ， 即=

设 ()，上式化为：,

.   令,

.

因为,显然，所以在上递增,

显然有恒成立.   所以在内不存在,使得成立。

综上所述，假设不成立.所以，函数不存在“中值相依切线”

(1)由，可得.

由，可得.

（2）因为、、成等差数列，所以…①.

因为、、成等比数列，所以，

因为数列、的每一项都是正数，所以…②.

于是当时，…③.

将②、③代入①式，可得，

因此数列是首项为4，公差为2的等差数列，

（注：学生不写上述陈述扣1分）

所以，于是.

由③式，可得当时，.

当时，，满足该式子，所以对一切正整数，都有.

（3）由（2）可知，所证明的不等式为.

方法一:首先证明（）。

因为

,

所以当时，.

当时，.

综上所述，对一切正整数，有

方法二:.

当时，

.

当时，；当时，.

（验证不写扣1分）

综上所述，对一切正整数，有

方法三:.

当时,

             .

当时，；当时，；

当时，.

（验证不写扣1分）

综上所述，对一切正整数，有…