热门试卷

（1）的定义域为．其导数．

①当时，，函数在上是增函数；

②当时，在区间上，；在区间上，．

所以在是增函数，在是减函数.

（2）①由（I）知，当时，函数在上是增函数，不可能有两个零点;

当时，在是增函数，在是减函数，此时为函数的最大值，当时，最多有一个零点，

所以，解得，

此时，，且，

令，则，

所以在上单调递增，所以，即

所以的取值范围是

②证法一：

下面证明：当时， .

设 ，则 .

在 上是增函数，所以当时， .

即当时，..

   .

②证法二：

令

则：，

所以函数在区间上为减函数.

,则,又

于是.

又由(1)可知 .即

本题属于导数应用中的基本问题，题目的难度是逐渐由易到难，

（1）直接按照步骤来求；

（2）要注意对参数的讨论．

（1），

因为f(x)定义域为（0，+∞），

所以ax2-2x+a=0有正根且不为等根。

显然a≠0,由x1x2=1>0.得Δ>0且x1+x2>0,所以  0<a<1 。

（2）由上知，，

因为x∈（0，+∞），①若a≤0,则<0恒成立，所以f(x)在（0，+∞）单调递减，因为f(1)=0,所以f(x)的零点唯一；

②若a≥1,则≥0恒成立，所以f(x)在（0，+∞）单调递增，因为f(1)=0,所以f(x)的零点唯一；

③若0<a<1,记x1,x2分别为ax2-2x+a=0的两根，且x1<1<x2,且f(x)在（0，x1）单调递增，在（x1，x2）单调递增，（x2，+∞）单调递增。

因为f(1)=0,所以f(x1)>0，f(x2)<0.当x∈（0，x1）时，取

显然，>0，

所以h(a)在（0，1）单调递增，所以，

故f(x)在有一个零点；因为，

则f(x)在有一个零点；

综上可知：当a≤0或a≥1时，有唯一零点；当0<a<1时，有三个零点．

(Ⅱ) ,定义域为（0，+∞），

①当 即 时，令 ，

令 ，得 故 在上单调递减，在 上单调递增

②当 即 时，恒成立，在（0，+∞）上单调递增。

综上，当时，的单调递减区间为，单调递增区间为。

当时，的单调递增区间为（0，+∞），无单调递减区间。

（Ⅱ）由题意可知，不等式≤在区间[1，e]（e=2.71828…）的解集为非空集合，

即在[1，e]存在 使得 成立，

由（Ⅰ）中，则在[1，e]存在使得

即函数在[1，e]上的最小值

由（Ⅰ）知，当时，在[1，e]上单调递增，

当时

①当 即 时，在[1，e]上单调递减，

②当即 时，在[1，e]上单调递增，

,无解

③当即 时，在上单调递减，在 上单调递增  此时 ，不合题意。

综上可得，实数 的取值范围是 或