热门试卷

（1）证明：设面PAB与面PCD的交线为l.

因为AB∥CD，AB不在面PCD内，

所以AB∥面PCD.

又因为AB面PAB，面PAB与面PCD的交线为l，所以AB∥l.

由直线AB在底面上而l在底面外可知，l与底面平行。

（2）解：设CD的中点为F.连接OF，PF.

由圆的性质，∠COD＝2∠COF，OF⊥CD.

因为OP⊥底面，CD底面，

所以OP⊥CD.

又OP∩OF＝O，故CD⊥面OPF.

又CD面PCD，因此面OPF⊥面PCD.

从而直线OP在面PCD上的射影为直线PF，

故∠OPF为OP与面PCD所成的角。

由题设，∠OPF＝60°。设OP＝h，

则OF＝OP·tan∠OPF＝h·tan 60°＝h.

根据题设有∠OCP＝22.5°，

得.

由1＝tan 45°＝和tan 22.5°＞0，

可解得tan 22.5°＝－1，

因此.

在Rt△OCF中，cos∠COF＝，

故cos∠COD＝cos（2∠COF）＝2cos2∠COF－1＝.

（1）

如图，设动圆圆心O1(x，y)，由题意，|O1A|＝|O1M|，

当O1不在y轴上时，

过O1作O1H⊥MN交MN于H，则H是MN的中点，

∴，又，

∴，

化简得y2＝8x(x≠0)。

又当O1在y轴上时，O1与O重合，点O1的坐标(0,0)也满足方程y2＝8x，

∴动圆圆心的轨迹C的方程为y2＝8x.

（2）

证明：由题意，设直线l的方程为y＝kx＋b(k≠0)，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，

将y＝kx＋b代入y2＝8x中，

得k2x2＋(2bk－8)x＋b2＝0，

其中Δ＝－32kb＋64＞0.

由求根公式得，x1＋x2＝，①

x1x2＝，②

因为x轴是∠PBQ的角平分线，

所以，

即y1(x2＋1)＋y2(x1＋1)＝0，

(kx1＋b)(x2＋1)＋(kx2＋b)(x1＋1)＝0，

2kx1x2＋(b＋k)(x1＋x2)＋2b＝0，③

将①，②代入③得2kb2＋(k＋b)(8－2bk)＋2k2b＝0，

∴k＝－b，此时Δ＞0，

∴直线l的方程为y＝k(x－1)，

即直线l过定点(1,0)

（1）由的图像过点，代入得

由在处的切线斜率为，又，得…3分

（2）（证法一）由均值不等式，当时，，故

记，则

，令，则当时，

因此在内是减函数，又由，得，所以

因此在内是减函数，又由，得，

于是当时，                                                …12分

（证法二）

由（1）知，由均值不等式，当时，，故

令，则，故，即，由此得，当时，，记，则当时，

因此在内是减函数，又由，得，即