导数与积分_章节学习

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题型：填空题

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填空题 · 5 分

已知直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为. 以直角坐标系xOy中的原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴，圆C的极坐标方程为，则圆心C到直线l距离为________。

正确答案

解析

直线l普通方程为，圆C的直角坐标方程为，配方得，，故圆心C到直线l距离为。

知识点

导数的加法与减法法则

1

题型：简答题

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简答题 · 13 分

已知A、B为抛物线C：y2 = 4x上的两个动点，点A在第一象限，点B在第四象限l1、l2分别过点A、B且与抛物线C相切，P为l1、l2的交点。

（1）若直线AB过抛物线C的焦点F，求证：动点P在一条定直线上，并求此直线方程；

（2）设C、D为直线l1、l2与直线x = 4的交点，求面积的最小值。

正确答案

（1）；

（2）

解析

（1）设，（）。

易知斜率存在，设为，则方程为.

由得，①

由直线与抛物线相切，知.

于是，，方程为.

同理，方程为.

联立、方程可得点坐标为，

∵ ，方程为，

过抛物线的焦点.

∴，∴，点P在定直线上。

（2）由（1）知，的坐标分别为，

∴.

∴ .

设（），，

由知，，当且仅当时等号成立。

∴ .

设，则.

∴ 时，；时，.在区间上为减函数；

在区间上为增函数.

∴ 时，取最小值.

∴ 当，，

即，时，面积取最小值。

知识点

导数的加法与减法法则

1

题型：填空题

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填空题 · 5 分

已知数列共有9项，其中，，且对每个，均有。

（1）记，则的最小值为________。

（2）数列的个数为________。

正确答案

（1）6；（2）491

解析

令，则对每个符合条件的数列，满足条件：

，且

反之，由符合上述条件的八项数列可唯一确定一个符合题设条件的九项数列。

记符合条件的数列的个数为，显然，中有个，个，个，且的所有可能取值为。

（1）对于三种情况，易知当时，取到最小值；

（2）

知识点

导数的加法与减法法则

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题型：单选题

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单选题 · 5 分

如图，B地在A地的正东方向4 km处，C地在B地的北偏东30°方向2 km处，河流的没岸PQ（曲线）上任意一点到A的距离比到B的距离远2 km.现要在曲线PQ上选一处M建一座码头，向B、C两地转运货物.经测算，从M到B、M到C修建公路的费用分别是a万元/km、2a万元/km，那么修建这两条公路的总费用最低是（）

A(2－2)a万元

B5a万元

C(2+1) a万元

D(2+3) a万元

正确答案

B

解析

依题意知PMQ曲线是以A、B为焦点、实轴长为2的双曲线的一支（以B为焦点），此双曲线的离心率为2，以直线AB为轴、AB的中点为原点建立平面直角坐标系，则该双曲线的方程为，点C的坐标为（3，）.则修建这条公路的总费用ω=a[|MB|+2|MC|]=2a[|MB|+|MC|],设点、在右准线上射影分别为点M 、C ，根据双曲线的定义有，所以。当且仅当点M在线段上时取等号，故ω的最小值是5a.

知识点

导数的加法与减法法则

1

题型：单选题

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单选题 · 5 分

设A，B为两个互不相同的集合，命题P：，命题q：或，则是的

A充分且必要条件

B充分非必要条件

C必要非充分条件

D非充分且非必要条件

正确答案

B

解析

由已知得，，故，所以是的充分非必要条件。

知识点

导数的加法与减法法则

1

题型：单选题

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单选题 · 5 分

函数的部分图象如图所示，设P是图象的最高点，A,B是图象与x轴的交点，若，则的值为

A

B

C

D

正确答案

C

解析

过点作轴，垂足为，则在中，；在中，，故

，又，故，所以，，解得，所以。

知识点

导数的加法与减法法则

1

题型：简答题

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简答题 · 12 分

长沙市某中学在每年的11月份都会举行“社团文化节”，开幕式当天组织举行大型的文艺表演，同时邀请36名不同社团的社长进行才艺展示。其中有的社长是高中学生，的社长是初中学生，高中社长中有是高一学生，初中社长中有是初二学生。

（1）若校园电视台记者随机采访3位社长，求恰有1人是高一学生且至少有1人是初中学生的概率；

（2）若校园电视台记者随机采访3位初中学生社长，设初二学生人数为，求的分布列及数学期望。

正确答案

见解析。

解析

（1）由题意得，高中学生社长有27人，其中高一学生9人；初中学生社长有9人，其中初二学生社长6人。

事件为“采访3人中，恰有1人是高一学生且至少有1人是初中学生”。

………6分

（2）的可能取值为0，1，2，3

,

，，

所以的分布列为

所以………12分

知识点

导数的加法与减法法则

1

题型：简答题

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简答题 · 13 分

已知焦点在x轴上的椭圆C1：的离心率互为倒数，它们在第一象限交点的坐标为，设直线（其中k,m为整数）。

（1）试求椭圆C1和双曲线C2 的标准方程；

（2）若直线l与椭圆C1交于不同两点A、B，与双曲线C2交于不同两点C、D，问是否存在直线l，使得向量，若存在，指出这样的直线有多少条？若不存在，请说明理由。

正确答案

见解析。

解析

（1）将点代入解得：

∴椭圆为：，

椭圆C的离心率为∴双曲线的离心率为，

∴ ，

∴双曲线为：

（2）由消去化简整理得：

设，，则

①

由消去化简整理得：

设，，则

②

因为，所以

由得：。

所以或，由上式解得或。

当时，由①和②得，因是整数，

所以的值为，，，，，，。

当，由①和②得，因是整数，所以，，。

于是满足条件的直线共有9条。

知识点

导数的加法与减法法则

1

题型：单选题

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单选题 · 5 分

设双曲线 (a>0)与直线相交于两个不同点，则双曲线的离心率e的取值范围为

A

B

C

D

正确答案

A

解析

依题由有两个不同的的解，消去y整理得

,又解得且 ,

又且即离心率e的取值范围为

知识点

导数的加法与减法法则

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题型：简答题

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简答题 · 13 分

已知函数

（1）若时，函数在其定义域上是增函数，求的取值范围；

（2）在（1）的结论下，设函数，求函数的最小值；

（3）设函数的图象与函数的图象交于点，过线段的中点作轴的垂线分别交于点，问是否存在点，使在处的切线与在处的切线平行？若存在，求出的横坐标；若不存在，请说明理由。

正确答案

见解析。

解析

（1）依题意：

在（0,+）上是增函数，

对x∈（0,+）恒成立， …………2分

…………4分

（2）设

当t=1时，ym I n=b+1；…………6分

当t=2时，ym I n=4+2b…………8分

当的最小值为…………8分

（3）设点P、Q的坐标是

则点M、N的横坐标为

C1在点M处的切线斜率为

C2在点N处的切线斜率为…………9分

假设C1在点M处的切线与C2在点N处的切线平行，则

设 ①…………11分

这与①矛盾，假设不成立。

故C1在点M处的切线与C2在点N处的切线不平行…………13分

知识点

导数的加法与减法法则

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