热门试卷

解：因为BF与AD平行，并且等于AD的，

所以BG：GD=BF：AD=1：2，则BG：BD=1：3，

同样的方法可以得出：DH：BD=1：3，

所以BG=DH=BD，所以BG=GH=HD，

所以△ABG与△AGH的面积相等，

△ABG的面积+△BGF的面积=△AGH的面积+△BGF的面积，

△AGH的面积+△BGF的面积=△ABF的面积=×10×=（平方厘米）；

又因△DEH的DE边上的高=×15=5（厘米），

所以△DEH面积=×5×5=（平方厘米）；

即阴影部分面积=+=50（平方厘米）．

答：阴影部分的面积是50平方厘米．

（1）证明：如图1．

∵点B关于直线CH的对称点为D，CH⊥AB于点H，直线DE交直线CH于点F，∴BF=DF，DH=BH．

∴∠1=∠2．

又∵∠EDA=∠A，∠EDA=∠1，

∴∠A=∠2．

∴BF∥AC．

（2）证明：取FD的中点N，连接HM，HN．

∵H是BD的中点，N是FD的中点，∴HN∥BF．

由（1）得BF∥AC，∴HN∥AC，即HN∥EM．

∵在Rt△ACH中，∠AHC=90°，AC边的中点为M，

∴HM=AC=AM．

∴∠A=∠3，

∴∠EDA=∠3，

∴NE∥HM，

∴四边形ENHM是平行四边形，

∴HN=EM．

∵在Rt△DFH中，∠DHF=90°，DF的中点为N，

∴HN=DF，即DF=2HN，

∴DF=2EM．

（3）解：当AB=BC时，在未添加辅助线和其他字母的条件下，原题图2中所有与BE相等的线段是EF和CE．

证明：连接CD．（如图3）

∵点B关于直线CH的对称点为D，CH⊥AB于点H，

∴BC=CD，∠ABC=∠5．

∵AB=BC，

∴∠ABC=180°-2∠A，AB=CD．①

∵∠EDA=∠A，

∴∠6=180°-2∠A，AE=DE．②

∴∠ABC=∠6=∠5．

∵∠BDE是△ADE的外角，

∴∠BDE=∠A+∠6．

∵∠BDE=∠4+∠5，

∴∠A=∠4．③

由①，②，③得△ABE≌△DCE．

∴BE=CE．

由（1）中BF=DF得∠CFE=∠BFC．

由（1）中所得BF∥AC可得∠BFC=∠ECF．

∴∠CFE=∠ECF．∴EF=CE．

∴BE=EF．

∴BE=EF=CE．

解：∵▱ABCD的对角线AC与BD相交于点O，且AC=4，BD=2，AB=，

∴OB2+OC2=AB2=7，

∴AC⊥BD，

∴四边形ABCD是菱形．

（1）证明：∵Rt△AB′C′是由Rt△ABC绕点A顺时针旋转得到的，

∴AC=AC′，AB=AB′，∠CAB=∠C′AB′，

∴∠CAC′=∠BAB′

∴∠ACC′=∠ABB′

又∠AEC=∠FEB，

∴△ACE∽△FBE

（2）解：当β=2α时，△ACE≌△FBE．

在△ACC′中，∵AC=AC′，∴

在Rt△ABC中，∠ACC′+∠BCE=90°，即90°-α+∠BCE=90°，

∴∠BCE=α∵∠ABC=α，∴∠ABC=∠BCE，∴CE=BE

由（1）知：△ACE∽△FBE，∴△ACE≌△FBE．

（1）证明：在△ABC和△ADC中，，

∴△ABC≌△ADC（SSS），

∴∠BCA=∠DCA，

在△CBF和△CDF中，，

∴△CBF≌△CDF（SAS），

（2）解：当EB⊥CD时，即E为过B且和CD垂直时垂线的垂足，∠EFD=∠BCD=∠BAD，

理由：

∵△ABC≌△ADC（SSS），

∴∠BAO=∠DAO，

∴易知△AOB≌AOD，∴BO=DO，

∴四边形ABCD是平行四边形，又∵AB=AD，

∴四边形ABCD为菱形，

∴BC=CD，∠BCF=∠DCF，∠BCD=∠BAD，

∵△BCF≌△DCF，

∴∠CBF=∠CDF，

∵BE⊥CD，

∴∠BEC=∠DEF=90°，

∴∠BCD+∠CBF=90°，∠EFD+∠CDF=90°，

∴∠EFD=∠BCD，

∴∠EFD=∠BAD．

解：（Ⅰ）连结BD，在直角三角形ABC中，易知AC=5，∠BDC=∠ADB=90°，…（2分）

所以∠BDC=∠ABC，又因为∠C=∠C，所以△ABC∽Rt△BDC，

所以，所以CD=．…（5分）

（Ⅱ）当点E是BC的中点时，ED与⊙O相切；

证明：连接OD，

∵DE是Rt△BDC的中线；

∴ED=EB，

∴∠EBD=∠EDB；

∵OB=OD，

∴∠OBD=∠ODB；

∴∠ODE=∠ODB+∠BDE=∠OBD+∠EBD=∠ABC=90°；

∴ED⊥OD，

∴ED与⊙O相切．

证明：（1）∵∠BAE=∠CAE，∠DCA=∠BEA，

∴△ABE∽△ADC；

（2）∵△ABE∽△ADC，

∴=，

即AB•AC=AD•AE．

又S=AB•ACsin∠BAC，且S=AD•AE，

故AB•ACsin∠BAC=AD•AE．

则sin∠BAC=1，

又∠BAC为三角形内角，

∴∠BAC=90°

解：∵△ABC中，A的外角平分线交BC的延长线于D，

∴AB：AC=BD：DC

∵AB：AC=2：1，

∴BD：DC=2：1．

解：如图所示，取AC的中点O，连接OE，OF，则OE∥AD，OF∥CD，

∴=2，

∴===，

∴AG=AO．

同理CH=CO，

∴AG=CH，

∴△AGD和△DHC的面积比为1：1．

证明：（1）∵EF∥BC∥AD，

∴，，，

∴，

∴EP=PF．

（2）∵EF∥BC，

∴，

∵EP=PF，

∴BG=GC，

同理可得AH=HD．

∴OG平分AD和BC．