热门试卷

（1）证明：∵PA为圆O的切线，MC为割线，

∴MA2=MB•MC，

又∵M为PA的中点，∴PM2=MB•MC，

∴，

又∵∠PMB=∠PMC，

∴△PMB～△PMC，

（2）解：∵PA为圆O的切线，PC为割线，

∴PA2=PE•PC，

∵M为PA的中点，PM=PE=2，

∴42=2•（2+CE），

∴CE=6．

解：（1）①∵⊙O的弦AB=AC，∴弧AB=弧AC，

∴∠ABE=∠ADB，

又∵∠BAE=∠DAB，∴△ABE∽△ADB；---（2分）

②∵△ABE∽△ADB，

∴，可得AB2=AD×AE

∵AE=2，ED=4，

∴AB2=AD×AE=6×2=12，可得AB=，

∵BD为⊙O的直径，

∴Rt△ABD中，BD=

所以⊙O的半径为R=，可得⊙O的面积为：S=πR2=12π（平方单位）-----（2分）

（2）直线FA与⊙O相切-----（1分），

 证明如下：连接AO

∵AC∥FD，∴∠C=∠CBD

∴弧AC=弧CD，

∵弧AB=弧AC，得弧AC=弧BAD

∴∠AOB==60°，

可得△ABO是等边三角形．

∴△ABF中，∠FBA=180°-∠ABO=120°

∵BF=BO=AB=BD

∴∠F=∠FBA=30°

因此可得∠FBA+∠BAO=30°+60°=90°

∴OA⊥FA，直线FA过半径OA的外端且与半径OA垂直，

∴直线FA与⊙O相切--------（3分）

证：因为AD是△ABC的外接圆的切线，

所以∠B=∠1∴△ABD∽△CAD

∴

作AE⊥BD于点E，

则．

故得证．

证明：过C点，做CG∥AB，交BF延长线于点G，则△CGB≌△BDA，

得到CG=BD=DC=AB，∠G=∠ADB

∵∠BCA=∠ACG=45°，CF=CF，∴△CFD≌△CFG

∴∠G=∠CDF

故∠ADB=∠FDC=∠G

证明：∵AD∥BC∥EF，

∴由平行线间线段成比例，得到：HF：BC=DF：DC=AE：AB=EG：BC，

∴HF=EG，

∴EH=EG-HG=HF-HG=GF．

证明：（1）∵N为CD的中点，

∴ON⊥CD，

∵M为AB的中点，

∴OM⊥AB，

在四边形OMEN中，∴∠OME+∠ONE=90°+90°=180°，

∴O，M，E，N四点共圆，

∴∠MEN+∠NOM=180°

（2）在△FEM与△FON中，∠F=∠F，∠FME=∠FNO=90°，

∴△FEM∽△FON，

∴=

∴FE•FN=FM•FO．

证明：（1）∵D，E分别为△ABC边AB，AC的中点

∴DF∥BC，AD=DB

∵AB∥CF，∴四边形BDFC是平行四边形

∴CF∥BD，CF=BD

∴CF∥AD，CF=AD

∴四边形ADCF是平行四边形

∴AF=CD

∵=，∴BC=AF，∴CD=BC．

（2）由（1）知=，所以=．

所以∠BGD=∠DBC．

因为GF∥BC，所以∠BDG=∠ADF=∠DBC=∠BDC．

所以△BCD～△GBD．

（Ⅰ）证明：∵AB是圆O的直径，∴∠ACB=90°．即AC⊥BD．

又∵BC=CD，∴AB=AD，∴∠D=∠ABC，∠EAC=∠BAC．

∵CE与⊙O相切于点C，∴∠ACE=∠ABC．∴∠AEC=∠ACB=90°．

∴CE⊥AD；

（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，∴△CED∽△ACB．

∴，又CD=BC，

∴BC==1，

∴BD=2BC=2，

∵AB=AD，

∴△ABD是等边三角形．

解 （1）∵DE2=EF•EC，

∴DE：CE=EF：ED．

∵∠DEF是公共角，

∴△DEF∽△CED．∴∠EDF=∠C．

∵CD∥AP，∴∠C=∠P．

∴∠P=∠EDF．

（2）∵∠P=∠EDF，∠DEF=∠PEA，

∴△DEF∽△PEA．∴DE：PE=EF：EA．即EF•EP=DE•EA．

∵弦AD、BC相交于点E，∴DE•EA=CE•EB．∴CE•EB=EF•EP．

（3）∵DE2=EF•EC，DE=6，EF=4，∴EC=9．

∵CE：BE=3：2，∴BE=6．

∵CE•EB=EF•EP，∴9×6=4×EP．解得：EP=．

∴PB=PE-BE=，PC=PE+EC=．

由切割线定理得：PA2=PB•PC，

∴PA2=×．∴PA=．

证明：∵AD=BD，

∴∠EAD=∠B=α；

设∠BDE=∠DAC=β，

∴∠AED=α+β，而∠BAC=α+β，

∴∠AED=∠BAC，而∠EAD=∠B，

∴△AED∽△BAC，

∴=，而AD=BD，

∴=

∴=．

证明：过C作CE∥AD交BA的延长线于E，如图所示，

则∠AEC=∠BAD，∠DAC=∠ACE．

又∠BAD=∠DAC，∴∠AEC=∠ACE，∴AC=AE，

又由AD∥CE知=，

∴=．