- 相似三角形的判定及有关性质
- 共634题
（1）求AC的长 （2）求S△CEF．
正确答案
解：（1）∵∠BFE=∠BCD=90°，∠FEB=∠DEC
∴△BFE∽△DCF
∵S△BEF=4S△CDE，
∴S△BEF：S△DEC=4：1
∴EF：EC=2：1
∵CE=5，∴EF=10，
∵sinB=
设AC=5k，则AB=7k
∵AB2-AC2=BC2，
∴49k2-25k2=（ 
解得k=
∴AC=5×
（2）∵sinB=
∴BF=4
S△BFE=BF×EF÷2=20
∵BE：EC=
∴S△CEF=
解析
解：（1）∵∠BFE=∠BCD=90°，∠FEB=∠DEC
∴△BFE∽△DCF
∵S△BEF=4S△CDE，
∴S△BEF：S△DEC=4：1
∴EF：EC=2：1
∵CE=5，∴EF=10，
∵sinB=
设AC=5k，则AB=7k
∵AB2-AC2=BC2，
∴49k2-25k2=（
解得k=
∴AC=5×
（2）∵sinB=
∴BF=4
S△BFE=BF×EF÷2=20
∵BE：EC=
∴S△CEF=
如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，点D为射线BC上一动点，连接AD，以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF，解答下列问题：
（1）当点D在线段BC上时（与点B不重合），如图甲，线段CF与线段BD之间的位置关系是______，数量关系是______．
（2）当点D在线段BC的延长线上时，如图乙，（1）中的结论是否仍然成立，为什么？
正确答案
解：（1）由已知可得：
∴∠ACF=∠ABD，CF=BD．
∴CF⊥BC，即CF⊥BD．
（2）仍然成立．
证明如下：
∴∠ACF=∠ABD，CF=BD．
∴CF⊥BC，即CF⊥BD．
解析
解：（1）由已知可得：
∴∠ACF=∠ABD，CF=BD．
∴CF⊥BC，即CF⊥BD．
（2）仍然成立．
证明如下：
∴∠ACF=∠ABD，CF=BD．
∴CF⊥BC，即CF⊥BD．
正确答案
解析
因为AD=BD，所以PD2-BD2=PD2-AD2=（PD+AD）（PD-AD）=PB•PA=4，
所以OP2-OB2=4，
所以OB2=9-4=5，
所以OB=
所以OA=
故答案为：
A
B
C
D
正确答案
解析
解：∵四边形ABCD是梯形，
∴AD∥CB，
∴△AOD∽△COB，
∴
∵AD=1，BC=3．
∴
故选：B．
正确答案
3
解析
解：过O做AC的垂线，垂足是D，
∵BC是⊙O的切线，
∴∠ABC=90°，
∵OD⊥AC，
在△ABC与△ADO中，
∴∠ADO=90°，∠A=∠A，
∴△ABC∽△ADO，
∴
在△ABC中，
∠BAC=30°，
∴AC=2BC=8 
AB=
∴OA=6=BO，
∴OD=
故答案为：3
图①、图②、图③分别表示甲、乙、丙三人由A地到B地的路线图（箭头表示行进的方向）．图②中E为AB的中点，图③中AJ＞JB．判断三人行进路线长度的大小关系为（ ）
正确答案
解析
解：根据以上分析：所以图②可得AE=BE，AD=EF，DE=BE，
∵AE=BE=
∴甲=乙
图③与图①中，三个三角形相似，所以
∵AJ+BJ=AB，
∴AI+JK=AC，IJ+BK=BC
∴甲=丙．∴甲=乙=丙．
故选A．
已知△ABC中，∠C为直角，D为边AC上一点，K为BD上一点，且∠ABC=∠KAD=∠AKD．证明：BK=2DC．
正确答案
则tanα=
∴CD=
则DK=AD=AC-CD=AC-
∴BK=BD-DK=
∴BK=2DC
解析
则tanα=
∴CD=
则DK=AD=AC-CD=AC-
∴BK=BD-DK=
∴BK=2DC
正方形S1和S2内接于同一个直角三角形ABC中，如图所示，设∠A=α，若S1=441，S2=440，则sin2α=______．
正确答案
解析
解：因为S1=441，S2=440，
所以FD=
因为AC=AF+FC=
AC=AM+MC=
所以
整理，可得
两边平方，可得110sin22α-sin2α-1=0，
解得sin2
故sin2
故答案为：
（1）设AN长为x米，矩形AMPN的面积为S平方米，试用解析式将S表示成x的函数，并写出该函数的定义域；
（2）当AN的长度是多少时，矩形AMPN的面积最小？并求最小面积．
正确答案
∴
故
由
故所求函数的解析式为
（2）令x-3=t，则由x∈（4，12），可得t∈（1，9），
故
当且仅当
故当AN的长为6时，矩形AMPN的面积最小，最小面积为48平方米．
解析
∴
故
由
故所求函数的解析式为
（2）令x-3=t，则由x∈（4，12），可得t∈（1，9），
故
当且仅当
故当AN的长为6时，矩形AMPN的面积最小，最小面积为48平方米．
正确答案
解析
解：由题知△BED∽△BCE，
所以
∴BE=
故答案为：
如图，△ABC中，∠C=90°，点D是BC的中点，DE⊥AB于E．求证：AE2=AC2+BE2．
正确答案
∵D是BC的中点，
∴CD=BD．
∵∠C=90°，DE⊥AB，
∴AE2-BE2=（AD2-DE2）-（BD2-DE2）=AD2-BD2=（AC2+CD2）-BD2=AC2．
∴AE2=AC2+BE2．
解析
∵D是BC的中点，
∴CD=BD．
∵∠C=90°，DE⊥AB，
∴AE2-BE2=（AD2-DE2）-（BD2-DE2）=AD2-BD2=（AC2+CD2）-BD2=AC2．
∴AE2=AC2+BE2．
在Rt△ABC中，∠C为直角，CD⊥AB垂足为D，则下列说法中不正确的是（ ）
正确答案
解析
解：∵Rt△ABC中，∠C为直角，CD⊥AB垂足为D，
由射影定理得：
CD2=AD•DB，故A正确；
AC2=AD•AB，故B正确；
AC•BC≠AD•BD，故C错误；
AC是△ACD外接圆的直径，由AC⊥BC，故BC是△ACD外接圆的切线，故D正确
故选C
正确答案
解：设BC=x，BD=y，则
∵在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，DE⊥BC于E，
∴BC2=BD•BA，BD2=BE•BC，
∵AD=
∴x2=y•（y+
联立解得x=5，y=
∴BC=5．
解析
解：设BC=x，BD=y，则
∵在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，DE⊥BC于E，
∴BC2=BD•BA，BD2=BE•BC，
∵AD=
∴x2=y•（y+
联立解得x=5，y=
∴BC=5．
如图，在△ABC中，D为边BC上一点，
正确答案
解析
解：设BD=a，则DC=2a，∴cosB=
∴AD=
∴AD•BD=a•
∴AD•BD的最大值为
故答案为：
如图所示，P、Q分别在BC和AC上，BP：CP=2：5，CQ：QA=3：4，则
正确答案
解析
又∵BP：CP=2：5，∴BP：PM=7：10．
∴RP：QM=BP：BM=7：17，
又QM：AP=CQ：AC=3：7，
∴RP：AP=3：17，∴AR：RP=14：3．
故选：B．
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