- 相似三角形的判定及有关性质
- 共634题
正确答案
2
60°
解析
解：∵∠BDF=∠CEF，∠BFD=∠CFE，
∴△BDF∽△CEF，
∴
∴EF2=4DF，即EF=2DF=
∴∠DCA=30°，
∴∠A=60°，
故答案为：2，60°．
正确答案
9
解析
解：设PB=x，则由切割线定理得：PT2=PB•PA
即122=x（x+7）
∴x2+7x-144=0
∴（x+16）（x-9）=0
解得：x=9，x=-16（舍）．
根据切割线定理知△PBT∽△PTA，
∴
∵PT=12，BT=8，PB=9，
∴AT=
故答案为：9；
（Ⅰ）△ABD∽△CPD；
（Ⅱ）AE∥BP．
正确答案
证明：（Ⅰ）∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠BAD=∠DCP．
又AB•CD=AD•PC，
∴
∴△ABD∽△CPD．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得∠ABD=∠P．
又AE为切线，AD为弦，
∴∠EAD=∠ABD，即∠P=∠EAD．
∴AE∥BP．
解析
证明：（Ⅰ）∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠BAD=∠DCP．
又AB•CD=AD•PC，
∴
∴△ABD∽△CPD．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得∠ABD=∠P．
又AE为切线，AD为弦，
∴∠EAD=∠ABD，即∠P=∠EAD．
∴AE∥BP．
已知，如图，AB是⊙O的直径，AC切⊙O于点A，AC=AB，CO交⊙O于点P，CO的延长线交⊙O于点F，BP的延长线交AC于点E．
（1）求证：FA∥BE；
（2）求证：
（3）若⊙O的直径AB=2，求tan∠PFA的值．
正确答案
解：（1）∵在⊙O中，直径AB与FP交于点O，
∴OA=OF，可得∠OAF=∠F．
又∵∠B=∠F，∴∠OAF=∠B．
∴FA∥BE．
（2）∵AC为⊙O的切线，PA是弦，∴∠PAC=∠F．
∵∠C=∠C，∴△APC∽△FAC，可得
∵AB=AC，
∴
（3）∵AC切⊙O于点A，CPF为⊙O的割线，
∴AC2=CP•CF=CP（CP+PF），
∵PF=AB=AC=2，
∴CP（CP+2）=4，整理得CP2+2CP-4=0，解之得CP=-1±
∵CP＞0，∴CP=
∵FP为⊙O的直径，∴∠FAP=90°
由（2）中的结论，得
∴在Rt△FAP中，tan∠F=
解析
解：（1）∵在⊙O中，直径AB与FP交于点O，
∴OA=OF，可得∠OAF=∠F．
又∵∠B=∠F，∴∠OAF=∠B．
∴FA∥BE．
（2）∵AC为⊙O的切线，PA是弦，∴∠PAC=∠F．
∵∠C=∠C，∴△APC∽△FAC，可得
∵AB=AC，
∴
（3）∵AC切⊙O于点A，CPF为⊙O的割线，
∴AC2=CP•CF=CP（CP+PF），
∵PF=AB=AC=2，
∴CP（CP+2）=4，整理得CP2+2CP-4=0，解之得CP=-1±
∵CP＞0，∴CP=
∵FP为⊙O的直径，∴∠FAP=90°
由（2）中的结论，得
∴在Rt△FAP中，tan∠F=
A
B
C
D
正确答案
解析
∵D是AC中点，
所以H是FC中点，FH=HC
E是BD中点，所以F是BH中点，
BF=FH
所以
故选A．
证明：∠EDH=∠FDH．（即AD平分ED与DF所成的角）
正确答案
于是有
又
所以
所以Rt△ADP≌Rt△ADQ，
从而∠EDH=∠FDH．…（15分）
解析
于是有
又
所以
所以Rt△ADP≌Rt△ADQ，
从而∠EDH=∠FDH．…（15分）
正确答案
30°
解析
解：∵DE⊥AC于E，DF⊥BC于F，
则∠CED=90°，∠CFD=90°，
∴四点C、E、D、F共圆，
∴∠CEF=∠CDF，
又∠CDF=90°-∠DCF=∠B，∠B=30°，
∴∠CEF=30°．
故答案为：30°．
正确答案
9
解析
解：平行四边形ABCD中，
有△AEF～△CDF
∴△AEF与△CDF的面积之比等于对应边长之比的平方，
∵AE：EB=1：2，
∴AE：CD=1：3
∵△AEF的面积等于1cm2，
∴△CDF的面积等于9cm2
故答案为：9
（1）求证：△CFD≌△CEB；
（2）若AB=21，AD=9．求AE的长．
正确答案
（1）证明：∵AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，CF⊥AD于F
∴CE=CF，
在Rt△BCE和Rt△DCF中，
∵CE=CF，BC=CD，
∴△CFD≌△CEB （HL）．（3分）
（2）解：∵Rt△BCE≌Rt△DCF，
∴DF=EB，CE=CF，CE⊥AB于E，CF⊥AD于F，
∴Rt△ACE≌Rt△ACF，
∴AF=AE，（2分）
∵AB=15，AD=7，
∴AD+DF=AB-EB，
∴EB=DF=4，（2分）
∴AE=AF=AD+DF=11．
解析
（1）证明：∵AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，CF⊥AD于F
∴CE=CF，
在Rt△BCE和Rt△DCF中，
∵CE=CF，BC=CD，
∴△CFD≌△CEB （HL）．（3分）
（2）解：∵Rt△BCE≌Rt△DCF，
∴DF=EB，CE=CF，CE⊥AB于E，CF⊥AD于F，
∴Rt△ACE≌Rt△ACF，
∴AF=AE，（2分）
∵AB=15，AD=7，
∴AD+DF=AB-EB，
∴EB=DF=4，（2分）
∴AE=AF=AD+DF=11．
如图，⊙O和⊙O′相交于A，B两点，过A作两圆的切线分别交两圆于C，D两点，连接DB并延长交⊙O于点E．证明：AC•BD=AD•AB．
正确答案
证明：（I）∵AC与⊙O‘相切于点A，故∠CAB=∠ADB，
同理可得∠ACB=∠DAB，
∴△ACB∽△DAB，∴
∴AC•BD=AD•AB．
解析
证明：（I）∵AC与⊙O‘相切于点A，故∠CAB=∠ADB，
同理可得∠ACB=∠DAB，
∴△ACB∽△DAB，∴
∴AC•BD=AD•AB．
正确答案
证明：∵AB=AC，点B是AD的中点，点E是AB的中点，
∴
在△ACE与△ADC中，
∴△ACE∽△ADC，
∴
∴
解析
证明：∵AB=AC，点B是AD的中点，点E是AB的中点，
∴
在△ACE与△ADC中，
∴△ACE∽△ADC，
∴
∴
（几何证明选讲选作题）两个相似三角形的一组对应边的长分别是1cm和2cm，它们的面积的和为25cm2，则较大三角形的面积是______．
正确答案
20cm2
解析
解：设较大三角形的面积是xcm2，
根据题意得：x：（25-x）=4：1，
解得：x=20，
∴较大三角形的面积是20cm2．
故答案为：20cm2．
（1）指出图中相似的三角形，并说明理由；
（2）若EC=4，DE=2，求AD的长．
正确答案
解：（1）∵AE平分∠BAC，∴∠BAE=∠CAE．
又∠B与∠AEC都对应
又∠ADB=∠CDE．
∴△ABD∽△AEC∽△CED．
（2）∵△AEC∽△CED，∴
∴
∴AD=AE-DE=8-2=6．
解析
解：（1）∵AE平分∠BAC，∴∠BAE=∠CAE．
又∠B与∠AEC都对应
又∠ADB=∠CDE．
∴△ABD∽△AEC∽△CED．
（2）∵△AEC∽△CED，∴
∴
∴AD=AE-DE=8-2=6．
如图，⊙O的直径AB的延长线与弦CD的延长线相交于点P．E为⊙O上一点，
（Ⅰ）证明：DF•EF=OF•FP；
（Ⅱ）当AB=2BP时，证明：OF=BF．
正确答案
.（I）证明：因为
又∠EFO=∠PFD，
∴△OFE∽△PFD，∴
∴DF•EF=OF•FP；
（II）设BP=a，由AB=2BP，得AO=BO=BP=a，
由相交弦定理得：DF•EF=AF•BF，
∴AF•BF=OF•FP，
∴OF•（a+BF）=（a+OF）•BF，∴OF=BF．
解析
.（I）证明：因为
又∠EFO=∠PFD，
∴△OFE∽△PFD，∴
∴DF•EF=OF•FP；
（II）设BP=a，由AB=2BP，得AO=BO=BP=a，
由相交弦定理得：DF•EF=AF•BF，
∴AF•BF=OF•FP，
∴OF•（a+BF）=（a+OF）•BF，∴OF=BF．
（Ⅰ）证明：CF⊥AE；
（Ⅱ）若AD=2，CD=3．DB=4，求tan∠BAE的值．
正确答案
解：（Ⅰ）证明：设CF与AE交于点G，连接DG，如图；
∵
∴
注意到∠CDF=∠ABE，∴△CDF∽△ABE，
∴∠DCG=∠DAG，∴A、D、G、C四点共圆．从而有∠AGC=∠ADC=90°，
∴CF⊥AE．
（Ⅱ）在Rt△CEF中，∴∠ECF=∠AED，
BC=5，DE=
∴EF=
∴tan∠ECF=
故tan∠BAE=
解析
解：（Ⅰ）证明：设CF与AE交于点G，连接DG，如图；
∵
∴
注意到∠CDF=∠ABE，∴△CDF∽△ABE，
∴∠DCG=∠DAG，∴A、D、G、C四点共圆．从而有∠AGC=∠ADC=90°，
∴CF⊥AE．
（Ⅱ）在Rt△CEF中，∴∠ECF=∠AED，
BC=5，DE=
∴EF=
∴tan∠ECF=
故tan∠BAE=
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