热门试卷

证明：（1）连接BE，

因为AE是直径，所以AB⊥BE，

又AD⊥BC，∠AEB=∠ACD，

所以Rt△ABE∽Rt△ADC．

∴，∴AB•AC=AE•AD．

（2）连接CE，则CE⊥AC，又BH⊥AC，∴BH∥CE．

∵BH⊥AC，AH⊥BC，所以H为△ABC的垂心．

CH⊥AB，EB⊥AB，∴BE∥CH

所以四边形BECH为平行四边形，∴CH=BE．

∵OP⊥AB，EB⊥AB，∴OP∥BE．

又O为AE的中点．∴OP=BE，∴OP=CH．

∴CH=2OP．

（1）证明：连接CD，则

∵AD平分∠BAC，

∴∠BAD=∠EAD，=，

∵DE是圆O的切线，

∴∠CDE=∠EAD=∠BAD．

∵∠DCE是四边形ABCD的外角，

∴∠DCE=∠ABD，

∴△ABD∽△DCE，

∴=．

（2）解：∵=，BD=3，

∴BD=CD=3，∠CBD=∠BCD，

∵DE是圆O的切线，EC=2，CA=6，

∴∠CDE=∠CBD，DE2=EC•EA=16，

∴DE=4，

∴∠CDE=∠BCD，

∴DE∥BC，

∴∠E=∠ACB=∠ADB，

∴△DCE∽△BFD，

∴，

∴BF==．

证明：（I）∵直线l为⊙O的切线，∴∠1=∠ACB．

∵AD∥l，∴∠1=∠DAB．

∴∠ACB=∠DAB，

又∵∠ABC=∠DBA，

∴△ABC∽△DAB．

∴．

∴AB2=BD•BC．

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知∠BAC=∠ADB．

∵∠EDC=∠FDC，∠EDC=∠ADB，

∴∠BAC=∠FDC．∴∠BAC+∠FDB=∠FDC+∠FDB=180°．

∴点A、B、D、F共圆．

解：（1）设直线AB的函数解析式为y=kx+4，

代入（4，0）得：4k+4=0，解得k=-1，

则直线AB的函数解析式为y=-x+4；

（2）①由已知得：OB=OC，∠BOD=∠COD=90°，

又∵OD=OD，∴△BDO≌△CDO，可得∠BDO=∠CDO，

∵∠CDO=∠ADP，∴∠BDE=∠ADP，

②连结PE，

∵∠ADP是△DPE的一个外角，∴∠ADP=∠DEP+∠DPE，

∵∠BDE是△ABD的一个外角，∴∠BDE=∠ABD+∠OAB，

∵∠ADP=∠BDE，∠DEP=∠ABD，∴∠DPE=∠OAB，

∵OA=OB=4，∠AOB=90°，∴∠OAB=45°，可得∠DPE=45°，

∴∠DFE=∠DPE=45°，

∵DF是⊙Q的直径，∴∠DEF=90°，可得△DEF是等腰直角三角形，

∴DF=DE，即y=x；

（3）当BD：BF=2：1时，过点F作FH⊥OB于点H，

∵∠DBO+∠OBF=90°，∠OBF+∠BFH=90°，∴∠DBO=∠BFH，

又∵∠DOB=∠BHF=90°，∴△BOD∽△FHB，可得===2，得FH=2，OD=2BH，

∵∠FHO=∠EOH=∠OEF=90°，∴四边形OEFH是矩形，可得OE=FH=2，EF=OH=4-OD，

∵DE=EF，∴2+OD=4-OD，解得OD=，∴点D的坐标为（0，），

∴直线CD的解析式为y=x+，

由得：，

则点P的坐标为（2，2）；

当=时，连结EB，同（2）①可得：∠ADB=∠EDP，

而∠ADB=∠DEB+∠DBE，∠EDP=∠DAP+∠DPA，

∵∠DEB=∠DPA，∴∠DBE=∠DAP=45°，

∴△DEF是等腰直角三角形，

过点F作FG⊥OB于点G，

同理可得△BOD∽△FGB，∴===，FG=8，OD=BG，

∵∠FGO=∠GOE=∠OEF=90°，∴四边形OEFG是矩形，得OE=FG=8，

∴EF=OG=4+2OD，

∵DE=EF，∴8-OD=4+2OD，OD=，解得点D的坐标为（0，-），

直线CD的解析式为：y=-x-，

由得：，∴点P的坐标为（8，-4），

综上所述，点P的坐标为（2，2）或（8，-4）．

证明：∵EF∥CB，

∴∠BCD=∠FED，

又∠BAD与∠BCD是所对应的圆周角，

∴∠BAD=∠BCD

∴∠BAD=∠FED，

又∠EFD=∠EFD，

∴△DEF∽△EAF．

证明：∵AE=AC，∠CDE=∠AOC，

又∠CDE=∠P+∠PDF，∠AOC=∠P+∠OCP，

从而∠PDF=∠OCP．

在△PDF与△POC中，

∠P=∠P，∠PDF=∠OCP，

故△PDF∽△POC．

证明：∵AB是⊙O的一条切线，∴AB2=AD•AE．

∵AC=AB，∴AC2=AD•AE，即．

又∵∠CAE公用，∴△ACE∽△ADC．

∴∠AEC=∠ACD．

由四边形DEGF是⊙O的内接四边形，∴∠CFG=∠AEC．

∴∠ACD=∠CFG，

∴FG∥AC．

解：（1）连接BE，∵⊙O的直径AB=8，∴OC=OBAB=4．∵BC=BE，

∴∠BEC=∠C=∠CBO．∴△BCE∽△OCB．

∵CE=OC-OE=4-y∴

∴y关于x的函数解析式为y=4-，定义域为0＜x≤4；

（2）作BM⊥CE，垂足为M，∵CE是⊙B的弦，∴EM=．

设两圆的公共弦CD与AB相交于H，则AB垂直平分CD．

∴CH=OC•sin∠COB=OB•sin∠COB=BM

当点E在线段OC上时，EM==（OC-OE）=，

∴OM=EM+OE=，

∴BM=，∴CD=2CH=2BM=．

当点E在线段OF上时，EM═=（OC+OE）=，

∴OM=EM-OE=

∴BM=．

∴CD=2CH=2BM=3；

（3）△OEG能为等腰三角形，的长度为或．

证明：（I）连接PB．∵BC切⊙P于点B，

∴PB⊥BC．

又∵EF⊥CE，且∠PCB=∠FCE，

∴Rt△CBP∽Rt△CEF，

∴∠CPB=∠CFE，

∴∠EPB+∠EFB=180°，

∴四点B，P，E，F共圆（5分）

（II）∵四点B，P，E，F共圆，且EF⊥CE，PB⊥BC，

∴此圆的直径就是PF．

∵BC切⊙P于点B，且，

∴由切割线定理CB2=CD•CE，得：CE=4，DE=2，BP=1．

又∵Rt△CBP∽Rt△CEF，∴EF：PB=CE：CB，得．

在Rt△FEP中，，

即由四点B，P，E，F确定圆的直径为（10分）