- 相似三角形的判定及有关性质
- 共634题
（1）求证：OF∥AE．
（2）求
正确答案
∵DF为⊙O的切线，
∴OD⊥DF，
∴∠FDO=90°
又∵∠ABC=90°，OD=OB，OF=OF，
∴在RT△OFD和RT△OFB中，OD=OB，OF=OF，
∴RT△OFD≌RT△OFB（HL），
∴∠FOD=∠FOB，
∵OA=OD，
∴∠OAD=∠ODA，
又∵∠BOD=∠OAD+∠ODA=2∠OAD，
∴∠FOB=∠OAD，
∴OF∥AE．
（2）解：连接BD交OF于H，
∵AB是直径，
∴BD⊥AE，
∴∠BDE=90°，
∵∠BAD=∠EAB，
∴△ABD∽△ABE，
∴AB2=AE•AD，
同理可证△BDE∽△ABE，
∴BE2=DE•AE，
∵∠FCD=∠OCB，∠CDF=∠CBO=90°，
∴△CDF∽△CBO，
∴DF：CD=OB：BC=1：2，
∴DF=
∵BC是⊙O的切线，
∴DF=BF，
∴DF是△BDE的中线，
∴BE=2DF=（
∴DE：AD=BE2：AB2=
解析
∵DF为⊙O的切线，
∴OD⊥DF，
∴∠FDO=90°
又∵∠ABC=90°，OD=OB，OF=OF，
∴在RT△OFD和RT△OFB中，OD=OB，OF=OF，
∴RT△OFD≌RT△OFB（HL），
∴∠FOD=∠FOB，
∵OA=OD，
∴∠OAD=∠ODA，
又∵∠BOD=∠OAD+∠ODA=2∠OAD，
∴∠FOB=∠OAD，
∴OF∥AE．
（2）解：连接BD交OF于H，
∵AB是直径，
∴BD⊥AE，
∴∠BDE=90°，
∵∠BAD=∠EAB，
∴△ABD∽△ABE，
∴AB2=AE•AD，
同理可证△BDE∽△ABE，
∴BE2=DE•AE，
∵∠FCD=∠OCB，∠CDF=∠CBO=90°，
∴△CDF∽△CBO，
∴DF：CD=OB：BC=1：2，
∴DF=
∵BC是⊙O的切线，
∴DF=BF，
∴DF是△BDE的中线，
∴BE=2DF=（
∴DE：AD=BE2：AB2=
正确答案
解：设⊙P 的半径为 r，Rt△CBP中，由勾股定理得 8+r2=（2+r）2，
∴r=1． 由Rt△CBP和R t△CEF相似可得 
∴
解析
解：设⊙P 的半径为 r，Rt△CBP中，由勾股定理得 8+r2=（2+r）2，
∴r=1． 由Rt△CBP和R t△CEF相似可得
∴
正确答案
解析
解：连接AB，CD
∵弧AB、CD、的度数分别为60°、90°，
∴弦AB的长度等于半径，弦CD的长度等于半径的
即
∵∠A=∠D，∠C=∠B，
∴△ABP∽△CDP
∴
∴
故答案为：
如图，在△ABC中，AB=AC=3，BC=2，∠ABC的平分线交BC的平行线于点D，则△ABD的面积为（ ）
A3
B
C3
D6
正确答案
解析
解：∵AB=AC=3，BC=2，∠ABC的平分线交BC的平行线于点D，
∴AD=AB=3，
∵BC上的高为
∴AD上的高为2
∴△ABD的面积为
故选：A．
正确答案
3
解析
解：由△COE∽△PDE可得，
由相交弦定理可得：CE•ED=AE•EB．
∴OE•PE═AE•EB，
∴OE•（PB+OB-OE）=（AO+OE）•（OB-OE），
∵PB=OA=2=OB，
∴OE•（2+2-OE）=（2+OE）•（2-OE），
化为4OE=4，解得OE=1．
∴PE=PB+OB-OE=2+2-1=3．
故答案为3．
（1）AE：ED=FE：EB；
（2）EM2=ED•EF．
正确答案
∴△AED∽△FEB，
∴AE：ED=FE：EB；（5分）
（2）延长ME与⊙O交于点N，由相交弦定理，
得EM•EN=EA•EB，且EM=EN，
∴EM2=EA•EB，由（1）
∴EM2=ED•EF．（10分）
解析
∴△AED∽△FEB，
∴AE：ED=FE：EB；（5分）
（2）延长ME与⊙O交于点N，由相交弦定理，
得EM•EN=EA•EB，且EM=EN，
∴EM2=EA•EB，由（1）
∴EM2=ED•EF．（10分）
正确答案
解析
解：由题意，tan∠ABC=
∵∠ABC=∠KAD=∠AKD，
∴∠BDC=2∠ABC，
∴tan∠BDC=tan2∠ABC=
∴
∴DC=
故答案为：
如图，在Rt△ABC中，∠CAB=90°，AD是∠CAB的平分线，tanB=
正确答案
1：2
解析
则∠E=∠ECA=45°．
∵∠CAD=∠BAD=45°，
∴∠E=∠BAD=45°，
∴CE∥AD．
∴CD：BD=AE：AB，
∵AC=AE，
∴CD：BD=AC：AB，
∵AC：AB=tanB=
∴CD：DB=1：2．
故答案为：1：2．
正确答案
解析
解：在△AEF中，∠AEF=90°，AE=a，EF=b，a＞b，正方形ABCD的边长为x；
∴△ABE∽△ECF，
∴
即
得EC=
∴BE=BC-EC=x-
又AB2+BE2=AE2，
即x2+
∴x=
故答案为：
如图所示．AD是△ABC的BC边上的中线，E是BD的中点，BA=BD．求证：AC=2AE．
正确答案
证明：如图所示，
延长AE到点F，使得EF=AE．
又∵BE=ED，
∴△ABE≌△FDE．
∴DF=AB，∠B=∠FDE，
∵AB=BD，DC=BD，
∴DC=DF，∠BAD=∠BDA，
∴∠ADC=∠ADF，
又AD公用，
∴△ADC≌△ADF，
∴AC=AF=2AE．
解析
证明：如图所示，
延长AE到点F，使得EF=AE．
又∵BE=ED，
∴△ABE≌△FDE．
∴DF=AB，∠B=∠FDE，
∵AB=BD，DC=BD，
∴DC=DF，∠BAD=∠BDA，
∴∠ADC=∠ADF，
又AD公用，
∴△ADC≌△ADF，
∴AC=AF=2AE．
正确答案
解析
解：∵四边形ABCD内接于圆O，且AC、BD交于点E，
∴根据同弧所对的圆周角相等，可得∠BCD=∠CAD，∠CBD=∠DAC，∠BAC=∠CDB，∠ABD=∠ACD
∴△AEB∽△DEC，△AED∽△BEC，共有两对
故选C．
正确答案
解：由题意结合cosA=
由勾股定理可得DE=
又tan∠BED=
∵cosA=
∴DE=
解析
解：由题意结合cosA=
由勾股定理可得DE=
又tan∠BED=
∵cosA=
∴DE=
正确答案
∵
∴S△ABC=a+4a=5a，
∵BC=3AD，∴S△ABC=3S△ACD=5a，
∴S△ACD=
∴四边形AECD的面积=S△AEC+S△ACD=a+
∴△BEC的面积：四边形AECD的面积=4a：
解析
∵
∴S△ABC=a+4a=5a，
∵BC=3AD，∴S△ABC=3S△ACD=5a，
∴S△ACD=
∴四边形AECD的面积=S△AEC+S△ACD=a+
∴△BEC的面积：四边形AECD的面积=4a：
A∠AED=∠B
B
C
DDE∥BC
正确答案
解析
解：A，符合三角形的三个内角相等，三角形相似，故本选项正确；
B，两个三角形对应边成比例，两个三角形相似，故选项正确；
C，不符合两边及其夹角对应成比例，两个三角形相似，故本选项不正确；
D，三角形中相似中平行线法，平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似，故本选项正确；
故选C．
（Ⅰ）求证：FA∥BE：；
（Ⅱ）求证：
（Ⅲ）若⊙O的直径AB=2，求tan∠CPE的值．
正确答案
（I）证明：在⊙O中，∵直径AB与FP交于点O，
∴OA=OF．
∴∠OAF=∠F．
∵∠B=∠F，
∴∠OAF=∠B．
∴FA∥BE．
（2）∵AC为⊙O的切线，PA是弦，
∴∠PAC=∠F．
∵∠C=∠C，
∴△APC∽△FAC．∴
∴
∵AB=AC，
∴
（3）∵AC切⊙O于点A，CPF为⊙O的割线，则AC2=CP•CF=CP•（CP+PF），
∵PF=AB=AC=2，
∴CP（CP+2）=4．
整理得CP2+2CP-4=0，
解得CP=
∵CP＞0，∴
∵FA∥BE，∴∠CPE=∠F．
∵FP为⊙O的直径，∴∠FAP=90°．
由（2）中证得
在Rt△FAP中，tan∠F=
∴tan∠CPE=tan∠F=
解析
（I）证明：在⊙O中，∵直径AB与FP交于点O，
∴OA=OF．
∴∠OAF=∠F．
∵∠B=∠F，
∴∠OAF=∠B．
∴FA∥BE．
（2）∵AC为⊙O的切线，PA是弦，
∴∠PAC=∠F．
∵∠C=∠C，
∴△APC∽△FAC．∴
∴
∵AB=AC，
∴
（3）∵AC切⊙O于点A，CPF为⊙O的割线，则AC2=CP•CF=CP•（CP+PF），
∵PF=AB=AC=2，
∴CP（CP+2）=4．
整理得CP2+2CP-4=0，
解得CP=
∵CP＞0，∴
∵FA∥BE，∴∠CPE=∠F．
∵FP为⊙O的直径，∴∠FAP=90°．
由（2）中证得
在Rt△FAP中，tan∠F=
∴tan∠CPE=tan∠F=
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