热门试卷

解：（1）∵OC=OD，∴∠OCD=∠ODC，∴∠OAC=∠ODB．

∵∠BOD=∠A，∴△OBD∽△AOC．∴，

∵OC=OD=6，AC=4，∴，∴BD=9．…（5分）

（2）证明：∵OC=OE，CE⊥OD．∴∠COD=∠BOD=∠A．

∴∠AOD=180°-∠A-∠ODC=180°-∠COD-∠OCD=∠ADO．

∴AD=AO   …（10分）

解：（I）∵AC为圆O的切线，

∴∠B=∠EAC

又知DC是∠ACB的平分线，

∴∠ACD=∠DCB

∴∠B+∠DCB=∠EAC+∠ACD

即∠ADF=∠AFD

又因为BE为圆O的直径，

∴∠DAE=90°

∴（4分）

（II）∵∠B=∠EAC，∠ACB=∠ACB，

∴△ACE∽△ABC

∴（6分）

又∵AB=AC，

∴∠B=∠ACB=30°，（8分）

∴在RT△ABE中，

（10分）

解：连接DE，

因为Rt△ABC中，∠C=90°，CD⊥AB，

所以BC2=BD•BA，AC2=AD•BD，

所以=，

因为DE⊥AE，BC⊥AC，

所以DE∥BC，

所以=，

所以：=．

解：如图所示，

∵D是BC边的中点，BC=4，

∴BD=2．

在△ABD中，由余弦定理可得：AD2=AB2+BD2-2AD•BDcosB=12+22-2×1×2×cos60°=3．

∴．

故答案为：．

证明：（Ⅰ）依题意，，∠1公用，

∴△DEB∽△BEC，

得∠3=∠4，

∵∠4=∠5，

∴∠3=∠5，又∠2=∠6，

可得：△EBD∽△ACD．

（Ⅱ）∵△EBD∽△ACD．

∴，即，

又∠ADE=∠CDB，

∴△ADE∽△CDB，

∴∠4=∠8．

∵∠1+∠2+∠3=180°，

∠2=∠7+∠8，即∠2=∠7+∠4，

由（Ⅰ）知∠3=∠5，

∴∠1+∠7+∠4+∠5=180°．

即∠ACB+∠AEB=180°，

∴A、E、B、C四点共圆．

（Ⅰ）证明：∵PA为圆O的切线，

∴∠PAB=∠ACP，

又∠P为公共角

∴△PAB∽△PCA，

∴，

∴AB•PC=PA•AC．…（4分）

（Ⅱ）解：∵PA为圆O的切线，BC是过点O的割线，

∴PA2=PB•PC，

∴PC=4，BC=3，

又∵∠CAB=90°，∴AC2+AB2=BC2=9，

又由（Ⅰ）知=，

∴AC=，AB=，

连接EC，则∠CAE=∠EAB，∠AEC=∠ABD

∴△ACE∽△ADB，∴，

∴AD•AE=AB•AC=．（10分）

证明：（1）由割线定理得EA•EC=BE•DE，

∴BE•DE+AC•CE=EA•CE+AC•CE=CE2，

∴BE•DE+AC•CE=CE2；

（2）∵AB是⊙O的直径，∴∠ECB=90°．

又EF⊥BF，即∠EFB=90°

∴E，F，C，B四点共圆．

证明：设AD∩CE=0，在AC上取一点F，使CF=CD，

所以∠B=60°，所以∠OAC+∠OCA=60°，∠AOC=120°…..（4分）

因为△OFC≌△ODC，所以∠FOC=∠DOC=60°

得到∠AOE=∠AOF=60°

所以△AOF≌△AOE，得到AE=AF

所以AE+CD=AC…..（10分）

（1）证明：∵AB∥CD，∴=，

∵AD∥BC，∴=，

∴=．

∴PE•PG=PH•PF．（6分）

（2）解：由题意可得到图形，关系式为PC2=PE•PG，

∵AB∥CD，∴=，

∵AD∥BC，∴=，

∴=，即PC2=PE•PG．（12分）