- 相似三角形的判定及有关性质
- 共634题
（1）PA=EF；
（2）PA⊥EF．
正确答案
∵PE⊥DC，PF⊥BC，四边形ABCD是正方形，
∴∠PEC=∠PFC=∠ECF=90°，
∴四边形PECF为矩形，
∴PC=EF，
又∵P为BD上任意一点，
∴PA、PC关于BD对称，
可以得出，PA=PC，所以EF=AP．
（2）如图，延长FP交AB于点G，延长AP交EF于点H，
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠C=∠ABC=90°，
又∵PE⊥BC，PF⊥CD，
∴四边形PECF为矩形，
同理四边形BCFG也为矩形，
∴PE=FC=GB，
又∵BD平分∠ABC，
∴∠GBD=45°，
又∵PG⊥AB，PE⊥BC，
∴四边形PEBG是正方形
∴PG=BG=PE，
又∵AB=BC=CD，
∴AG=EC=PF，
在△PAG和△EFP中，
∴△PAG≌△EFP（SAS），
∴∠APG=∠FEP=∠FPH，
∵∠FEP+∠PFH=90°，
∴∠FPH+∠PFH=90°，
∴AP⊥EF．
解析
∵PE⊥DC，PF⊥BC，四边形ABCD是正方形，
∴∠PEC=∠PFC=∠ECF=90°，
∴四边形PECF为矩形，
∴PC=EF，
又∵P为BD上任意一点，
∴PA、PC关于BD对称，
可以得出，PA=PC，所以EF=AP．
（2）如图，延长FP交AB于点G，延长AP交EF于点H，
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠C=∠ABC=90°，
又∵PE⊥BC，PF⊥CD，
∴四边形PECF为矩形，
同理四边形BCFG也为矩形，
∴PE=FC=GB，
又∵BD平分∠ABC，
∴∠GBD=45°，
又∵PG⊥AB，PE⊥BC，
∴四边形PEBG是正方形
∴PG=BG=PE，
又∵AB=BC=CD，
∴AG=EC=PF，
在△PAG和△EFP中，
∴△PAG≌△EFP（SAS），
∴∠APG=∠FEP=∠FPH，
∵∠FEP+∠PFH=90°，
∴∠FPH+∠PFH=90°，
∴AP⊥EF．
正确答案
解析
解：由题意可得，AC=BC=CD=DA=1，∠BAC=45°，∠BCD=∠ACB+∠ACD=90°+60°=150°．
又△BCD为等腰三角形，∴∠CBE=15°，故∠ABE=45°-15°=30°，故∠BEC=75°，∠AEB=105°．
再由 sin105°=sin（60°+45°）=sin60°cos45°+cos60°sin45°=
△ABE中，由正弦定理可得
∴AE=
故答案为：
（1）证明：BC=CE；
（2）证明：△BCF～△EAC．
正确答案
证明：（1）∵CD为圆O的切线，C为切点，AB为圆O的直径，
∴OC⊥CD…（1分）
又AD⊥CD，∴OC∥AD，∴∠OCA=∠CAE…（3分）
又OC=OA，∴∠OAC=∠OCA，
∴∠OAC=∠CAE，∴BC=CE…（5分）
（2）由弦切角定理可知，∠FCB=∠OAC，
∴∠FCB=∠CAE，
∵四边形ABCE为圆O的内接四边形，
∴∠ABC+∠CEA=180°…（8分）
又∠ABC+∠FBC=180°，
∴∠FBC=∠CEA，
∴△BCF∽△EAC…（10分）
解析
证明：（1）∵CD为圆O的切线，C为切点，AB为圆O的直径，
∴OC⊥CD…（1分）
又AD⊥CD，∴OC∥AD，∴∠OCA=∠CAE…（3分）
又OC=OA，∴∠OAC=∠OCA，
∴∠OAC=∠CAE，∴BC=CE…（5分）
（2）由弦切角定理可知，∠FCB=∠OAC，
∴∠FCB=∠CAE，
∵四边形ABCE为圆O的内接四边形，
∴∠ABC+∠CEA=180°…（8分）
又∠ABC+∠FBC=180°，
∴∠FBC=∠CEA，
∴△BCF∽△EAC…（10分）
若△ABC可分割为两个与自身相似的三角形，那么这个三角形的形状是（ ）
正确答案
解析
解：
∵△ADC∽△ADB
∴∠ADC=∠ADB，结合∠ADC+∠ADB=180°，可得∠ADC=∠ADB=90°
∵△ADC∽△ACB
∴∠ADC=∠ACB=90°，可得△ABC是直角三角形
故选：A
正确答案
解：∵FG与⊙O相切于点G，∴FG2=FB•FA．
∵EF∥CD，∴∠BEF=∠ECD．
又A，B，C，D四点共圆，∴∠ECD=∠EAF，∴∠BEF=∠EAF．
∵∠EFA公用，∴△EFA∽△BFE，∴
∴EF2=FG2，即EF=FG．
解析
解：∵FG与⊙O相切于点G，∴FG2=FB•FA．
∵EF∥CD，∴∠BEF=∠ECD．
又A，B，C，D四点共圆，∴∠ECD=∠EAF，∴∠BEF=∠EAF．
∵∠EFA公用，∴△EFA∽△BFE，∴
∴EF2=FG2，即EF=FG．
正确答案
5
解析
AB⊥CD于E，根据垂径定理得到DE=4，
在直角△ODE中，根据勾股定理得到OE=3，因而AE=8，
易证△ABF∽△AED，得到 
解得BF=5．
（1）画出位似中心点O；
（2）求出△ABC与△A′B′C′的位似比；
（3）以点O为位似中心，再画一个△A1B1C1，使它与△ABC的位似比等于3：2．
正确答案
（2）∵
∴△ABC与△A′B′C′的位似比为：2：1．
（3）如图所示：△A1B1C1即为所求．
解析
（2）∵
∴△ABC与△A′B′C′的位似比为：2：1．
（3）如图所示：△A1B1C1即为所求．
A1
B2
C
D
正确答案
解析
解：∵PA是⊙O的切线，切点为A，AC是⊙O的直径
∴∠PAC是一个直角，
∵∠PAB=30°
∴∠PCA=30°，
∵PA=2，
∴AC=2
∴⊙O的半径为
故选C．
正确答案
解析
解：∵矩形ABCD中，AE平分∠BAD，
∴∠BAE=45°，
∵∠CAE=15°，
∴∠BAO=∠BAE+∠CAE=45°+15°=60°，
又∵矩形中OA=OB=OC=OD，
∴△AOB是等边三角形，
∴∠AOB=∠COD=60°，
∴△ODC是等边三角形，故①正确；
由等边三角形的性质，AB=OA，
∴AC=2AB，
由垂线段最短BC＜AC，
∴BC＜2AB，故②错误；
∵∠BAE=45°，∠ABE=90°，
∴△ABE是等腰直角三角形，
∴AB=BE，
∴BO=BE，
∵∠COB=180°-60°=120°，
∴∠BOE=
∴∠AOE=∠AOB+∠BOE=60°+75°=135°，∠AEO=30°，故③⑤正确；
∵△AOE和△COE的底边AO=CO，点E到AC的距离相等，
∴S△AOE=S△COE，故④正确；
综上所述，正确的结论是①③④⑤．
故选：D．
在四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C，点E在边AB上，∠AED=60°，则一定有（ ）
A∠ADE=20°
B∠ADE=30°
C∠ADE=
D∠ADE=
正确答案
解析
∴∠BED=180°-∠AED=180°-60°=120°，
∴∠B+∠C=360°-∠BED-∠EDC=360°-120°-100°=140°，
∵∠B=∠C，
∴∠B=∠C=70°，
∴∠A=70°，∠EDC=100°
∴∠ADE=180°-∠A-∠AED=180°-70°-60°=50°，
∴∠ADE=
故选：C．
如图，已知在△ABC中，点D．E分别在AB、AC上，且AD•AB=AE•AC，CD与BE相交于点O．
（I）求证：△AEB∽△ADC：
（II）求证：
正确答案
证明：（I）∵AD•AB=AE•AC，
∴
∴△AEB∽△ADC．
（II）∵△AEB∽△ADC，∴∠ABE=∠ACD，
又∠DOB=∠EOC，
∴△BOD∽△COE．
∴
解析
证明：（I）∵AD•AB=AE•AC，
∴
∴△AEB∽△ADC．
（II）∵△AEB∽△ADC，∴∠ABE=∠ACD，
又∠DOB=∠EOC，
∴△BOD∽△COE．
∴
A（不等式选做题）如果关于x的不等式|x-3|-|x-4|＜a的解集不是空集，则实数a的取值范围是______；
B（几何证明选做题）如图，圆O的割线PBA过圆心O，弦CD交AB于点E，且△COE～△PDE，PB=OA=2，则PE的长等于______；
C（极坐标系与参数方程选做题）圆ρ=2COSθ的圆心到直线
正确答案
a＞-1
3
解析
解：A、|x-3|+|x-4|的几何意义是数轴上的点x 到3和4的距离之差，
当x在3的左侧时，这个距离和最小值为-1．其它情况都大于-1
所以|x-3|-|x-4|≥-1
如果不是空集，所以 a＞-1
故答案为：a＞-1．
B、∵PB=OA=2，
∴OC=OB=2
由相交弦定理得：DF•CF=AF•BF
又∵△COF∽△PDF，
∴DF•CF=OF•PF
即AF•BF=OF•PF
即（4-BF）•BF=（2-BF）•（2+BF）
解得BF=1
故PF=PB+BF=3
故答案为：3．
C、圆ρ=2cosθ 即 （x-1）2+y2=1，表示以（1，0）为圆心，以1为半径的圆．
直线 
故答案为：
已知△ABC为等腰直角三角形，|CA|=|CB|，|AB|=4，O为AB中点，动点P满足条件：|PO|2=|PA|•|PB|，则线段CP长的最小值为（ ）
A
B2
C
D4
正确答案
解析
设P（x，y），则
∵|PO|2=|PA|•|PB|，
∴x2+y2=
∴x2-y2-2=0．
∴CP=
∴y=1时，CP有最小值2．
故选：B．
求证：△ABD∽△AEB．
正确答案
证明：∵AB=AC，∴∠ABD=∠C，又∵∠C=∠E，∴∠ABD=∠E，又∠BAE是公共角，
可知：△ABD∽△AEB．
解析
证明：∵AB=AC，∴∠ABD=∠C，又∵∠C=∠E，∴∠ABD=∠E，又∠BAE是公共角，
可知：△ABD∽△AEB．
如图所示，AB为⊙O的直径，BC、CD为⊙O的切线，B、D为切点
（1）求证：AD∥OC
（2）若⊙O的半径为1，求AD•OC的值．
正确答案
解：（1）如图，连接BD、OD，BD交OC于M．
∵CB、CD是⊙O的两条切线，
∴BD⊥OC，
∴∠ODM+∠DOC=90°
又∵AB为⊙O直径，得AD⊥DB，
∴∠ADO+∠ODM=90°，可得∠ADO=∠DOC，
∴AD∥OC
（2）∵AO=OD，∴∠ADO=∠A=∠DOC，
由此可得Rt△BAD∽Rt△COD，
∴
即AD•OC的值为2．
解析
解：（1）如图，连接BD、OD，BD交OC于M．
∵CB、CD是⊙O的两条切线，
∴BD⊥OC，
∴∠ODM+∠DOC=90°
又∵AB为⊙O直径，得AD⊥DB，
∴∠ADO+∠ODM=90°，可得∠ADO=∠DOC，
∴AD∥OC
（2）∵AO=OD，∴∠ADO=∠A=∠DOC，
由此可得Rt△BAD∽Rt△COD，
∴
即AD•OC的值为2．
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