- 相似三角形的判定及有关性质
- 共634题
正确答案
所以，∠ADE=∠AED；
过点C作CM∥AB交DE于M，所以，CM=CE=BD，
所以，四边形BMCD为平行四边形，所以，BF=CF．
解析
所以，∠ADE=∠AED；
过点C作CM∥AB交DE于M，所以，CM=CE=BD，
所以，四边形BMCD为平行四边形，所以，BF=CF．
正确答案
解：由题意，折痕为EF展开后再折成如图所示，使点A落在EF上的点A′处，
所以△BA‘G≌△BAG，所以∠A'BG=∠ABG，BA'=AB，
在直角三角形BA'F中，BF=
又∠A'BG=∠ABG，所以∠ABG=30°，BG=2AG，
在三角形ABG中，BG2=AG2+AB2，得BG=4
解析
解：由题意，折痕为EF展开后再折成如图所示，使点A落在EF上的点A′处，
所以△BA‘G≌△BAG，所以∠A'BG=∠ABG，BA'=AB，
在直角三角形BA'F中，BF=
又∠A'BG=∠ABG，所以∠ABG=30°，BG=2AG，
在三角形ABG中，BG2=AG2+AB2，得BG=4
如图所示，圆O的两弦AB和CD交于点E，EF∥CB，EF交AD的延长线于点F，FG切圆O于点G．
（1）求证：△DEF∽△EFA；
（2）如果FG=1，求EF的长．
正确答案
（1）证明：因为EF∥CB，所以∠BCE=∠FED，又∠BAD=∠BCD，所以∠BAD=∠FED，
又∠EFD=∠EFD，所以△DEF∽△EFA．…（6分）
（2）由（1）得，
因为FG是切线，所以FG2=FD•FA，所以EF=FG=1．…（10分）
解析
（1）证明：因为EF∥CB，所以∠BCE=∠FED，又∠BAD=∠BCD，所以∠BAD=∠FED，
又∠EFD=∠EFD，所以△DEF∽△EFA．…（6分）
（2）由（1）得，
因为FG是切线，所以FG2=FD•FA，所以EF=FG=1．…（10分）
如图，⊙O中，直径AB和弦DE互相垂直，C是DE延长线上一点，连接BC与圆O交于F，若∠CFE=40°则∠DEB=______．
正确答案
40°
解析
解：∵直径AB和弦DE互相垂直
∴AB平分DE
∴BD=BE，∠D=∠BED
∵DEFB四点共圆
∴∠EFC=∠D=40°．
∴∠DEB=40°．
故答案为：40°．
（Ⅰ）求证：E、H、M、K四点共圆；
（Ⅱ）若KE=EH，CE=3，求线段KM的长．
正确答案
解：
注意到等腰梯形的对角互补，
故C，H，E，K四点共圆，（3分）
同理C，E，H，M四点共圆，
即E，H，M，K均在点C，E，H所确定的圆上，证毕．（5分）
（Ⅱ）连接EM，
由（1）得E，H，M，C，K五点共圆，（7分）∵CEHM为等腰梯形，∴EM=HC，
故∠MKE=∠CEH，
由KE=EH可得∠KME=∠ECH，
故△MKE≌△CEH，
即KM=EC=3为所求．（10分）
解析
解：
注意到等腰梯形的对角互补，
故C，H，E，K四点共圆，（3分）
同理C，E，H，M四点共圆，
即E，H，M，K均在点C，E，H所确定的圆上，证毕．（5分）
（Ⅱ）连接EM，
由（1）得E，H，M，C，K五点共圆，（7分）∵CEHM为等腰梯形，∴EM=HC，
故∠MKE=∠CEH，
由KE=EH可得∠KME=∠ECH，
故△MKE≌△CEH，
即KM=EC=3为所求．（10分）
A
B
C2
D3
正确答案
解析
解：过点A作AM⊥BC于M，
由于∠B=∠ECD，且∠ADC=∠ACD，得△ABC与△FCD相似，
那么
又S△FCD=5，那么S△ABC=20，
由于S△ABC=
此时BD=DC=5，M为DC中点，BM=7.5，
由于
正确答案
解析
∵AB=AC=10，
∴BF=CF=
在Rt△ABF中，AF=
∵M、N分别是AB，AC的中点，
∴MN是中位线，
∴MN∥BC，MN=
∴AK=FK=
∴NM=DE=8cm，GH⊥MN，
∵MN∥BC，
∴△OMN∽△OED，
∴OG：OH=MN：DE=1，
∴OH=
∴S阴影=
故选：B．
正确答案
证明：在△ABM与△AND中，
∠BAM=∠NAD=90°
∠AMB=∠ADN=90-∠MND，
∴△ABM∽△AND，
AB：AN=AM：AD，
AN•AM=AB•AD①
又∵在直角△MCN中，AC⊥MN，
∴AC2=AM•AN②
由①，②得AC2=AB•AD．
解析
证明：在△ABM与△AND中，
∠BAM=∠NAD=90°
∠AMB=∠ADN=90-∠MND，
∴△ABM∽△AND，
AB：AN=AM：AD，
AN•AM=AB•AD①
又∵在直角△MCN中，AC⊥MN，
∴AC2=AM•AN②
由①，②得AC2=AB•AD．
正确答案
解析
解：由题意，∠ECD=∠DBC=∠DAC=∠DCA，
∴AD=CD=3，
∵∠AFB=∠DFC，∠ABF=∠DCF，
∴△ABF∽△DCF，
∴
∵BD=4，∴DF=
△ABD中，cos∠ABD=
△CFD中，
∴CF=
故答案为：
正确答案
解析
解：根据△B′FC与△ABC相似时的对应情况，有两种情况：
①△B′FC∽△ABC时，
又因为AB=AC=3，BC=4，B‘F=BF，
所以 
解得BF=
②△B′CF∽△ABC时，
又因为AB=AC=3，BC=4，B'F=CF，BF=B′F，
所以BF=4-B′F，
解得BF=2．
故BF的长度是 
故答案为：
（1）
（2）△ADQ∽△DBQ．
正确答案
证明：
∵△PBC∽△PDB，
∴
同理
又∵PA=PB，
∴
（Ⅱ）∵∠BAC=∠PBC=∠DAQ，∠ABC=∠ADQ，
∴△ABC∽△ADQ，即
故
又∵∠DAQ=∠PBC=∠BDQ，
∴△ADQ∽△BDQ．
解析
证明：
∵△PBC∽△PDB，
∴
同理
又∵PA=PB，
∴
（Ⅱ）∵∠BAC=∠PBC=∠DAQ，∠ABC=∠ADQ，
∴△ABC∽△ADQ，即
故
又∵∠DAQ=∠PBC=∠BDQ，
∴△ADQ∽△BDQ．
如图，△ABC中，D是AB中点，E是AC上的点，且3AE=2AC，CD，BE交O点，求证：OE=
正确答案
怎么：过E点作EF∥CD交AB于F，如图，
∵3AE=2AC，
∴AE：CE=2：1，
∵EF∥CD，
∴
∴AD=3DF，
∵D点为AB的中点，
∴BD=AD=3DF，
∴BF=4DF，
∵OD∥EF，
∴
∴OE=
解析
怎么：过E点作EF∥CD交AB于F，如图，
∵3AE=2AC，
∴AE：CE=2：1，
∵EF∥CD，
∴
∴AD=3DF，
∵D点为AB的中点，
∴BD=AD=3DF，
∴BF=4DF，
∵OD∥EF，
∴
∴OE=
A
B
C
D
正确答案
解析
解：直线MN切⊙O于点C，
∵根据弦切角可知∠BCM=∠A，BE∥MN，
∴∠BCM=∠EBC，∠A=∠EBC．又∠ACB是公共角，
∴根据三角对应相等得到△ABC∽△BEC，
∴
∵AB=AC=6，BC=4，
∴EC=
∴AE=AC-EC=6-
故选A
在△ABC中，D，E分别为AB，AC上的点，且DE∥BC，△ADE的面积是2cm2，梯形DBCE的面积为6cm2，则DE：BC的值为______．
正确答案
1：2
解析
则S△ADE：S△ABC=1：4
∵DE∥BC
则△ADE∽△ABC
设相似比是k
则面积的比是k2=1：4
因而相似比是1：2
∴DE：BC=1：2．
故答案为：1：2．
正确答案
解析
解：∵AE∥CD，∴△AEF∽△CDF，
∴AE：CD=AF：CF，
∵AE：EB=1：2，
∴AE：AB=AE：CD=1：3，
∴AF：CF=1：3，
∴AF：AC=1：4，
∴△AEF与△ABC的高的比为1：4，
∴△AEF与△ABC的面积的比为1：12，
∴△AEF与平行四边形ABCD的面积的比为1：24，
∵△AEF的面积等于6cm2，
∴平行四边形ABCD的面积等于144cm2．
∵AF：AC=1：4，
∴S△ADF=18cm2．
故选：C．
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