相似三角形的判定及有关性质_章节学习

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题型：填空题

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填空题

如图，四边形ABCD是等腰梯形，AB∥CD，且AD=CD=1．由4个这样的等腰梯形可以拼出图乙所示的平行四边形，则该平行四边形的面积为______．

正确答案

3

解析

解：设等腰梯形的底角为θ，

则由图可知，θ+θ+θ=180°，即θ=60°．

由AD=CD=1知，

AB=CD+2AD•cos60°=2，

故梯形的面积为=，

故平行四边形的面积为．

故答案为：．

1

题型：简答题

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简答题

已知：△ABC中，E、G、D、F分别是边AB、CB上的一点，且GF∥ED∥AC，EF∥AD．

求证：=．

正确答案

证明：∵GF∥ED，

∴△BFG∽△BDE，

∴=．

同理可得△BDE∽△BCA，可得=．

又△BFE∽△BDA可得=．

∴=．

解析

证明：∵GF∥ED，

∴△BFG∽△BDE，

∴=．

同理可得△BDE∽△BCA，可得=．

又△BFE∽△BDA可得=．

∴=．

1

题型：单选题

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单选题

如图，E是平行四边形ABCD的边AB延长线上一点，且DC：BE=3：2，则AD：BF=（　　）

A

B

C

D

正确答案

C

解析

解：因为DC：BE=3：2，而且DC=AB，

∴AB：BE=3：2，AE：BE=5：2

又因为BC∥AD，

∴AD：BF=AE：BE=5：2

故选：C．

1

题型：简答题

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简答题

设D是△ABC的边BC上的一点，点P在线段AD上，过点D作一直线分别与线段AB、PB交于点M、E，与线段AC、PC的延长线交于点F、N．如果DE=DF，求证：DM=DN．

正确答案

证明：对△AMD和直线BEP用梅涅劳斯定理得：=1（1），

对△AFD和直线NCP用梅涅劳斯定理得：=1（2），

对△AMF和直线BDC用梅涅劳斯定理得：=1（3）

（1）（2）（3）式相乘得：=1，

又DE=DF，

∴有，

∴DM=DN．

解析

证明：对△AMD和直线BEP用梅涅劳斯定理得：=1（1），

对△AFD和直线NCP用梅涅劳斯定理得：=1（2），

对△AMF和直线BDC用梅涅劳斯定理得：=1（3）

（1）（2）（3）式相乘得：=1，

又DE=DF，

∴有，

∴DM=DN．

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题型：单选题

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单选题

如图所示，已知AA′∥BB′∥CC′，AB：BC=1：3，那么下列等式成立的是（　　）

AAB=2A′B′

B3A′B′=B′C′

CBC=B′C′

DAB=A′B′

正确答案

B

解析

解：∵AA′∥BB′∥CC′，AB：BC=1：3，

∴A′B′：B′C′=1：3，

∴3A′B′=B′C′．

故选：B．

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题型：填空题

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填空题

如右图，平行四边形ABCD的对角线AC和BD交于点O，OE与BC和AB的延长线分别交于点E和F，若AB=2，BC=3，BF=1，则BE=______．

正确答案

解析

解：过O作BC的平行线交AB于M，

∵O为AC的中点，∴M为AB的中点

∵BC=3，∴OM=

∵AB=2，BF=1

∴BM=BF

∴B为MF的中点

∴=

故答案为：

1

题型：填空题

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填空题

在△ABC中，AD⊥BC于D，且，则的最大值为______．

正确答案

解析

解：设AD=a，则BC=3a

===+2cos∠BAC．

∵

∴=3sin∠BAC

∴=3sin∠BAC+2cos∠BAC=sin（∠BAC+α）≤

故答案为：

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题型：单选题

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单选题

如图，已知=，DE∥BC，则等于（　　）

A

B

C

D

正确答案

C

解析

解：∵=，

∴=，

∵DE∥BC，

∴==，

故选：C．

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题型：简答题

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简答题

如图，菱形ABCD中，AB=1，∠ABC=π，E为线段AD的动点，设∠ECD=α．

（1）若EA=ED，求sinα；

（2）分别过D、B作EC的垂线，垂足分别为M、N，求2DM+BN的取值范围．

正确答案

解：（1）由题意，CE==，

由正弦定理可得，

∴sinα=；

（2）2DM+BN=2sinα+sin（60°-α）=sin（α+30°），

∵0°＜α＜60°，

∴30°＜α+30°＜90°，

∴＜sin（α+30°）＜1，

∴2DM+BN的取值范围是（，）．

解析

解：（1）由题意，CE==，

由正弦定理可得，

∴sinα=；

（2）2DM+BN=2sinα+sin（60°-α）=sin（α+30°），

∵0°＜α＜60°，

∴30°＜α+30°＜90°，

∴＜sin（α+30°）＜1，

∴2DM+BN的取值范围是（，）．

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题型：填空题

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填空题

如图，在△ABC中，MN∥DE∥BC，若AE：EC=7：3，则DB：AB的值为______．

正确答案

3：10

解析

解：∵MN∥DE∥BC，

∴DB：AB=EC：AC，

∵AE：EC=7：3，

∴DB：AB=3：10．

故答案为：3：10．

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题型：单选题

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单选题

如图，直线AB∥CD∥EF，若AC=3，CE=4，则的值是（　　）

A

B

C

D

正确答案

C

解析

解：∵直线AB∥CD∥EF，

∴===．

故选：C．

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题型：单选题

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单选题

如图，在△ABC中，E，F分别是AB，AC上的点，若EF∥BC，△AEF与四边形EFCB的面积相等，则等于（　　）

A

B

C

D

正确答案

B

解析

解：∵△AEF与四边形EFCB的面积相等，

∴△AEF与△ACB的面积相的比为1：2，

∵EF∥BC，

∴=，

故选：B．

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题型：简答题

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简答题

如所示，将一矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花坛AMPN，使点M，N分别在AB，AD的延长线上，且对角线MN过点C，已知AB=2米，AD=3米．

（Ⅰ）若要使矩形AMPN的面积不大于32平方米，则DN的长应在什么范围内？

（Ⅱ）当DN的长为多少时，矩形花坛AMPN的面积最小？并求出最小值．

正确答案

解：（Ⅰ）设DN的长为x（x＞0）米，则AN=（x+3）米

∵，∴AM=，

∴矩形AMPN的面积S=AN•AM=

∵矩形AMPN的面积不大于32平方米，

∴≤32

又x＞0得x2-10x+9≤0

解得：1≤x≤9，即DN的长取值范围是[1，9]；

（Ⅱ）矩形花坛的面积为S=AN•AM==2x++12≥2+12=24

当且仅当2x=，即x=3时，矩形花坛的面积最小为24平方米．

解析

解：（Ⅰ）设DN的长为x（x＞0）米，则AN=（x+3）米

∵，∴AM=，

∴矩形AMPN的面积S=AN•AM=

∵矩形AMPN的面积不大于32平方米，

∴≤32

又x＞0得x2-10x+9≤0

解得：1≤x≤9，即DN的长取值范围是[1，9]；

（Ⅱ）矩形花坛的面积为S=AN•AM==2x++12≥2+12=24

当且仅当2x=，即x=3时，矩形花坛的面积最小为24平方米．

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题型：简答题

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简答题

正方形ABCD中，E是BC边延长线上的一点，AE交CD于点F，FN∥AD交DE于N，求证：CF=NF．

正确答案

证明：∵ABCD是正方形，∴DA=AB、FC∥AB．

∵NF∥DA，∴△ENF∽△EDA，∴．

∵FC∥AB，∴△EFC∽△EAB，∴，

∴，又AB=DA，∴CF=NF．

解析

证明：∵ABCD是正方形，∴DA=AB、FC∥AB．

∵NF∥DA，∴△ENF∽△EDA，∴．

∵FC∥AB，∴△EFC∽△EAB，∴，

∴，又AB=DA，∴CF=NF．

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题型：简答题

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简答题

如图，在△ABC中，D是AC中点，E是BD三等分点，AE的延长线交BC于F，求的值．

正确答案

解：过D点作DM∥AF交BC于M，

∵DM∥AF，

∴，

∵EF∥DM，

∴，即S△BDM=9S△BEF，

又，即，

∴S四边形DEFC=14S△BEF，

∴．

解析

解：过D点作DM∥AF交BC于M，

∵DM∥AF，

∴，

∵EF∥DM，

∴，即S△BDM=9S△BEF，

又，即，

∴S四边形DEFC=14S△BEF，

∴．

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