热门试卷

（Ⅰ）证明：因为AB为⊙O直径，

所以∠ACB=90°，即 AC⊥BC，

因为D是弧的中点，由垂径定理

得OD⊥BC，因此OD∥AC  （3分）

又因为点O为AB的中点，所以点E为

BC的中点，所以OE=AC  （2分）

（Ⅱ）证明：连接CD，因为PC是⊙O的切线，

所以∠PCD=∠CAP，

又∠P是公共角，

所以△PCD∽△PAC．

得，

∴，

∴． （3分）

因为D是弧的中点，所以CD=BD，因此．   （2分）

解：（1）在直三棱柱ABC-A1B1C1中，CC1⊥平面ABC，

∴C1B在平面ABC上的射影为CB．

∴∠C1BC为直线C1B与底面ABC所成角．

∵CC1=BB1=2，BC=1，∴tan∠C1BC=2．

即直线C1B与底面ABC所成角正切值为2．

（2）当E为中点时，EA⊥EB1．

∵CE=EC1=1，BC=B1C1=1，∴∠BEC=∠B1EC1=450，∴∠BEB1=90°，

即B1E⊥BE

又∵AB⊥平面BB1CC1，EB1⊂平面BB1C1C∴AB⊥EB1，

∵BE∩AB=B，∴EB1⊥平面ABE，

EA⊂平面ABE，EA⊥EB1．

（3）取EB1的中点G，A1E的中点F，

则FG∥A1B1，且FG=A1B1，

∵A1B1⊥EB1，∴FG⊥EB1，

连接A1B，AB1，设A1B∩AB1=O，

连接OF，OG，FG，

则OG∥AE，且OG=AE，∵AE⊥EB1，∴OG⊥EB1．

∴∠OGF为二面角A-EB1-A1的平面角．

∵OG=AE=1，且FG=A1B1=，OF=BE=，∠OGF=45°

∴二面角A-EB1-A1的大小为45°，

另解：如图，以B为原点建立空间直角坐标系，则B（0，0，0），C1（1，2，0），B1（0，2，0）．

（1）直三棱柱ABC-A1B1C1中，

平面ABC的法向量=（0，2，0）．，

又=（1，2，0）

设C1B与平面ABC所成的角为θ，

则sinθ=|cos|=

∴tanθ=2

即直线C1B与底面ABC所成角正切值为2．

（2）设E（1，y，0），则=（-1，2-y，0），=（-1，y，z）

∵AE⊥EB1，∴•=1-y（2-y）=0

∴y=1，即E（1，1，0），∴E为CC1的中点．

（3）∵A（0，0，），则=（1，1，-），=（1，-1，0），

设平面AEB1的法向量=（x1，y1，z1），

则∴，取=（1，1，）

∵=（1，-1，0），

，=1-1=0∴BE⊥B1E，

又BE⊥A1B1，∴BE⊥平面A1B1E，∴平面A1B1E的法向量=（1，1，0），∴cos＜，＞=

∴二面角A-EB1-A1的大小为45°．

证明：（1（连接CD，如图所示：

由圆周角定理，我们可得∠C=∠B

又由∠BEC为△ABE与△CDE的公共角，

∴△ABE∽△CDE，

∴BE：CE=AE：DE，

∴BE•DE=CE•AE

∴BE•DE+AC•CE=CE2…（5分）

（2）∵AB是⊙O的直径，∴∠ECB=90°，∴CD=BE，

∵EF⊥BF，∴FD=BE，

∴E，F，C，B四点与点D等距，

∴E，F，C，B四点共圆  …（10分）

证明：（I）如图所示．

连接AM，∵AB是⊙O的直径，∴∠AMB=90°．

∴∠AMB+∠AEF=180°，

∴A、E、F、M四点共圆；

（II）连接AC，BC．

由A、E、F、M四点共圆，∴BF•BM=BE•BA．

连接AC，BC．则∠ACB=90°．

又CD⊥AB．

∴AC2=AE•AB．

∴AC2+BF•BM=AE•AB+BE•AB=AB2．