- 相似三角形的判定及有关性质
- 共634题
正确答案
∵四边形AODB内接于圆，∠ADB=100°，
∴∠AOB=180°-100°=80°，
∵∠ACB=
∴∠ACB=
故答案为40°．
解析
∵四边形AODB内接于圆，∠ADB=100°，
∴∠AOB=180°-100°=80°，
∵∠ACB=
∴∠ACB=
故答案为40°．
求证：∠DEA=∠DFA．
正确答案
∴∠ADB=90°，
又EF⊥AB，∠EFA=90°
∴A、D、E、F四点共圆．
∴∠DEA=∠DFA．
解析
∴∠ADB=90°，
又EF⊥AB，∠EFA=90°
∴A、D、E、F四点共圆．
∴∠DEA=∠DFA．
正确答案
30
解析
解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，即AD⊥BC；
又∵△ABC是等边三角形，
∴DA平分∠BAC，即∠DAC=
故答案为：30．
（1）求证：∠NBD=∠DBM；
（2）求证：AM是∠BAC的角平分线．
正确答案
证明：（1）∵BN=BM，
又∵AB是⊙O的一条直径，∴∠ADB=90°．
∴∠NBD=∠DBM；
（2）∵BM是⊙O的切线，∴∠MBD=∠DAB．
∵∠DBC与∠FAC所对的圆弧都是
∴∠DBC=∠FAC，
∵∠NBD=∠DBM，
∴∠DAC=∠DAB．
∴AM是∠BAC的角平分线．
解析
证明：（1）∵BN=BM，
又∵AB是⊙O的一条直径，∴∠ADB=90°．
∴∠NBD=∠DBM；
（2）∵BM是⊙O的切线，∴∠MBD=∠DAB．
∵∠DBC与∠FAC所对的圆弧都是
∴∠DBC=∠FAC，
∵∠NBD=∠DBM，
∴∠DAC=∠DAB．
∴AM是∠BAC的角平分线．
如图，已知∠ACB=∠CDB=60°，AC=1，△ABC的面积S是______．
正确答案
解析
解：由题意知∠ACB=∠CDB=60°，结合圆周角定理知必有AB=BC，由此知三角形为正三角形，
又AC=1
故面积为
故答案为：
（Ⅰ）证明：C，B，D，E四点共圆；
（Ⅱ）若∠A=90°，且m=4，n=6，求C，B，D，E所在圆的半径．
正确答案
AD×AB=mn=AE×AC，
即
又∠DAE=∠CAB，从而△ADE∽△ACB
因此∠ADE=∠ACB
∴C，B，D，E四点共圆．
（Ⅱ）m=4，n=6时，方程x2-14x+mn=0的两根为x1=2，x2=12．
故AD=2，AB=12．
取CE的中点G，DB的中点F，分别过G，F作AC，AB的垂线，两垂线相交于H点，连接DH．
∵C，B，D，E四点共圆，
∴C，B，D，E四点所在圆的圆心为H，半径为DH．
由于∠A=90°，故GH∥AB，HF∥AC．HF=AG=5，DF=
故C，B，D，E四点所在圆的半径为5
解析
AD×AB=mn=AE×AC，
即
又∠DAE=∠CAB，从而△ADE∽△ACB
因此∠ADE=∠ACB
∴C，B，D，E四点共圆．
（Ⅱ）m=4，n=6时，方程x2-14x+mn=0的两根为x1=2，x2=12．
故AD=2，AB=12．
取CE的中点G，DB的中点F，分别过G，F作AC，AB的垂线，两垂线相交于H点，连接DH．
∵C，B，D，E四点共圆，
∴C，B，D，E四点所在圆的圆心为H，半径为DH．
由于∠A=90°，故GH∥AB，HF∥AC．HF=AG=5，DF=
故C，B，D，E四点所在圆的半径为5
在⊙O中，弦AB=1.8cm，圆周角∠ACB=30°，则⊙O的直径等于（ ）
正确答案
解析
解：由题意，根据正弦定理：
故选C．
（1）求证：DF垂直且平分AC；
（2）求证：FC=CE；
（3）若弦AD=5cm，AC=8cm，求⊙O的半径．
正确答案
∴DF是⊙O的直径所在的直线，
∴DF⊥DE，
又∵AC∥DE，
∴DF⊥AC，
∴G为AC的中点，即DF平分AC，则DF垂直平分AC；（2分）
（2）证明：由（1）知：AG=GC，
又∵AD∥BC，
∴∠DAG=∠FCG；
又∵∠AGD=∠CGF，
∴△AGD≌△CGF（ASA），（4分）
∴AD=FC；
∵AD∥BC且AC∥DE，
∴四边形ACED是平行四边形，
∴AD=CE，
∴FC=CE；（5分）
（3）解：连接AO，
∵AG=GC，AC=8cm，
∴AG=4cm；
在Rt△AGD中，由勾股定理得GD2=AD2-AG2=52-42=9，
∴GD=3；（6分）
设圆的半径为r，则AO=r，OG=r-3，
在Rt△AOG中，由勾股定理得AO2=OG2+AG2，
有：r2=（r-3）2+42，
解得r=
∴⊙O的半径为
解析
∴DF是⊙O的直径所在的直线，
∴DF⊥DE，
又∵AC∥DE，
∴DF⊥AC，
∴G为AC的中点，即DF平分AC，则DF垂直平分AC；（2分）
（2）证明：由（1）知：AG=GC，
又∵AD∥BC，
∴∠DAG=∠FCG；
又∵∠AGD=∠CGF，
∴△AGD≌△CGF（ASA），（4分）
∴AD=FC；
∵AD∥BC且AC∥DE，
∴四边形ACED是平行四边形，
∴AD=CE，
∴FC=CE；（5分）
（3）解：连接AO，
∵AG=GC，AC=8cm，
∴AG=4cm；
在Rt△AGD中，由勾股定理得GD2=AD2-AG2=52-42=9，
∴GD=3；（6分）
设圆的半径为r，则AO=r，OG=r-3，
在Rt△AOG中，由勾股定理得AO2=OG2+AG2，
有：r2=（r-3）2+42，
解得r=
∴⊙O的半径为
正确答案
解析
解：∵PD切⊙O于点C，∴OC⊥CD，
在Rt△OCD中，又CD=OC，∴∠COD=45°．
∵OC=OA，∴
∴∠PCA=90°-22.5°=67.5°．
故选D．
在△ABC中，I是内心，∠BIC=140°，则∠A的度数是______．
正确答案
100°
解析
∴∠IBC=
△IBC中，∠BIC=140°；
∴∠IBC+∠ICB=180°-∠BIC=40°；
∴∠ABC+∠ACB=80°；
∴∠BAC=180°-80°=100°．
故答案为：100°．
如图圆O的半径为3，∠BAC=30°，则弦BC=______．
正确答案
3
解析
∵∠BAC=30°，
∴∠BOC=2∠BAC=60°，
∵OB=OC，
∴△OBC是等边三角形，
∴BC=OB=OC=3．
故答案为：3．
正确答案
60°
解析
则由OA⊥PA，OB⊥PB
∴∠P=180°-∠AOB
∵∠ACB=120°，
∴劣弧
∴∠AOB=120°
∴∠P=60°
故答案为：60°
正确答案
∵OM⊥CD，∴CM=DM，
∵△OAB为等腰三角形，∴AM=BM，
∴AC=BD．
解析
∵OM⊥CD，∴CM=DM，
∵△OAB为等腰三角形，∴AM=BM，
∴AC=BD．
正确答案
80°
解析
∴∠E=180°-∠A=80°，
又CD是⊙O的切线，T为切点，
∴∠DTB=∠E=80°．
故答案为：80°．
求证：直线PC经过点E．
正确答案
证明：连结AE，EB，OE，因为AB是圆O的直径，P是上半圆上的任意一点，PC是∠APB的平分线，E是下半圆的中点
则∠AOE=∠BOE=90°． 
因为∠APE是圆周角，∠AOE同弧上的圆心角，
所以
同理可得，∠BPE=45°，所以PE是∠APB的平分线． …（8分）
又PC也是∠APB的平分线，∠APB的平分线有且只有一条，所以PC与PE重合．
所以直线PC经过点E．…（10分）
解析
证明：连结AE，EB，OE，因为AB是圆O的直径，P是上半圆上的任意一点，PC是∠APB的平分线，E是下半圆的中点
则∠AOE=∠BOE=90°．
因为∠APE是圆周角，∠AOE同弧上的圆心角，
所以
同理可得，∠BPE=45°，所以PE是∠APB的平分线． …（8分）
又PC也是∠APB的平分线，∠APB的平分线有且只有一条，所以PC与PE重合．
所以直线PC经过点E．…（10分）
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