- 相似三角形的判定及有关性质
- 共634题
（1）∠BAC=∠CAG；
（2）AC2=AE•AF．
正确答案
∵AB为⊙O的直径…（2分）
∴∠ACB=90°⇒∠ECB+∠ACG=90°…（1分）
∵GC与⊙O相切于C，
∴∠ECB=∠BAC
∴∠BAC+∠ACG=90°…（4分）
又∵AG⊥CG⇒∠CAG+∠ACG=90°
∴∠BAC=∠CAG…（6分）
（2）由（1）可知∠EAC=∠CAF，连接CF
∵GE与⊙O相切于C，
∴∠GCF=∠CAF=∠BAC=∠ECB
∵∠AFC=∠GCF+90°，∠ACE=∠ECB+90°
∴∠AFC=∠ACE…（8分）
∵∠FAC=∠CAE
∴△FAC∽△CAE…（10分）
∴
∴AC2=AE•AF…（12分）
解析
∵AB为⊙O的直径…（2分）
∴∠ACB=90°⇒∠ECB+∠ACG=90°…（1分）
∵GC与⊙O相切于C，
∴∠ECB=∠BAC
∴∠BAC+∠ACG=90°…（4分）
又∵AG⊥CG⇒∠CAG+∠ACG=90°
∴∠BAC=∠CAG…（6分）
（2）由（1）可知∠EAC=∠CAF，连接CF
∵GE与⊙O相切于C，
∴∠GCF=∠CAF=∠BAC=∠ECB
∵∠AFC=∠GCF+90°，∠ACE=∠ECB+90°
∴∠AFC=∠ACE…（8分）
∵∠FAC=∠CAE
∴△FAC∽△CAE…（10分）
∴
∴AC2=AE•AF…（12分）
A、B、C是⊙O上三点，
正确答案
解析
解：如图所示，
当点C在OB的左侧时，连接OC，延长AO与圆相交于点D．
∵∠OBC=40°=∠OCB，
∴∠BOC=100°．
∵∠AOB=50°，
∴∠DOC=30°．
∴
同理可得当点C在OB的右侧时，∠OAC=65°．
故选：A．
正确答案
95°
解析
解：连接OC，OB．
则OB⊥BE，OC⊥EF，
∴O，B，E，C四点共圆，
∵∠E=50°
∴∠BOC=130°．
∠A的度数是
故答案为：105°
正确答案
30
解析
∵AB切⊙O于C，
∴OC⊥AB；
∵EF∥AB，
∴OC⊥EF，则EM=MF=
Rt△OEM中，EM=
则sin∠EOM=
∴∠EDC=
故答案为：30．
正确答案
证明：在线段AE上截取AF=BD，
圆周角相等，AC=BC，AF=BD，
∠CBD=∠CAD
△CAF≌△CBD，
∴CF=CD，
∵CE⊥AD于E
∴EF=DE
∴AE=BD+DE
解析
证明：在线段AE上截取AF=BD，
圆周角相等，AC=BC，AF=BD，
∠CBD=∠CAD
△CAF≌△CBD，
∴CF=CD，
∵CE⊥AD于E
∴EF=DE
∴AE=BD+DE
△ABC中，∠A外角的平分线与此三角形外接圆相交于P，求证：BP=CP．
正确答案
证明：∠CBP=∠CAP=∠PAD
又∠1=∠2
由∠CAD=∠ACB+∠CBA
=∠ACB+∠CBP+∠2
=∠ACB+∠1+∠CBP
=∠BCP+∠CBP
∴∠BCP=∠CBP，
∴BP=CP．
解析
证明：∠CBP=∠CAP=∠PAD
又∠1=∠2
由∠CAD=∠ACB+∠CBA
=∠ACB+∠CBP+∠2
=∠ACB+∠1+∠CBP
=∠BCP+∠CBP
∴∠BCP=∠CBP，
∴BP=CP．
如图，AB为半圆O的直径，弦AD、BC相交于点P，若CD=3，AB=4，则tan∠BPD等于（ ）
A
B
C
D
正确答案
解析
解：如图所示，连接AC．
由△PCD∽△PAB，可得
设CP=3x，AP=4x．则
∴tan∠BPD=tan∠APC=
故选：A．
四边形ABCD是圆内接四边形，如果
正确答案
解析
解：由四边形ABCD是圆内接四边形，
则
∴∠C=60°．
故选：C．
正确答案
110°
解析
解：∵AB为半圆O的直径，
∴∠ACB=90°，可得∠BAC+∠B=90°
∵∠BAC=20°，∴∠B=90°-20°=70°
又∵四边形ABCD为圆内接四边形
∴∠B+∠D=180°，可得∠D=180°-70°=110°
即∠ADC=110°
故答案为：110°
正确答案
证明：连接AB，
∵∠E与∠CBA是AC所对的圆周角，
∴∠E=∠CBA，
又四边形ABDF内接于⊙O′，
∴∠PFA=∠ABD，
∴∠E+∠PFE=∠CBA+∠ABD=∠CBD，
又∵∠E+∠P+∠PFE=180°，
∴∠P+∠CBD=180°．
解析
证明：连接AB，
∵∠E与∠CBA是AC所对的圆周角，
∴∠E=∠CBA，
又四边形ABDF内接于⊙O′，
∴∠PFA=∠ABD，
∴∠E+∠PFE=∠CBA+∠ABD=∠CBD，
又∵∠E+∠P+∠PFE=180°，
∴∠P+∠CBD=180°．
如图，AB是圆O的直径，点C，D，E都在圆O上，若∠C=∠D=∠E，则∠A+∠B=______．
正确答案
135°
解析
解：∵∠C=∠D=∠E，AB为圆O的直径
∴弧AC，弧BC，弧DE相等，且等于圆周的
∵弧AC与弧BC的和是半圆，
∴弧AC对的圆心角是90°，弧AC对的圆周角是45°，
∴弧AC与弧BC与弧DE分别所对的圆心角的和是270°，
∴弧AD与弧BE的和的度数是90°，
即，弧AD与弧BE分别所对的圆周角的和为45°，
∵∠A，∠B所对的弧分别为弧DB，弧AE，且两端弧长总和为圆周的
由圆周角定理可得，∠A+∠B=180×
故答案为：135°
正确答案
4
解析
解：连接BC，设圆的直径是x
则三角形ABC是一个含有30°角的三角形，
∴BC=
三角形BPC是一个等腰三角形，BC=BP=
∵PC是圆的切线，PA是圆的割线，
∴PC2=PB•PC=
∵PC=2
∴x=4，
故答案为：4
正确答案
45°
解析
解：∵弧CD的度数与弧AB的度数的差为20°，
∴2（∠A-∠D）=20°
即∠A-∠D=10°
∵∠DEC=80°
∴∠DEC=∠D+∠A=80°
∴∠A=45°，∠D=35°．
故答案为45°．
正确答案
解析
解：因为：AD=DE；
根据同弧所对的圆周角相等得：
∴∠DAE=∠ABD=∠DBE；
以及∠EAB=∠EDB；
∴△DBE∽△ABC；
∴
∵AB=8，BD=6，
∴
故答案为：
△ABC内接于以O为圆心的圆，且∠AOB=60°．则∠C=______．
正确答案
30°或150°
解析
解：△ABC内接于以O为圆心的圆，
分两种情况讨论，
①∠C为锐角，∠C=
②∠C为钝角，∠C=180°-
故答案为30°或150°．
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