椭圆及其性质
共751题

椭圆及其性质
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题型：简答题

简答题 · 12 分

20．过圆上一点作圆的切线l,且直线l与椭圆C:相切,椭圆的离心率为,椭圆的两个焦点坐标分别为．

（1）求椭圆C的方程；

（2）若在椭圆上存在一点P,使得的面积为,求此时满足的实数k的值．

正确答案

解析

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知识点

平面向量数量积的运算向量在几何中的应用椭圆的定义及标准方程圆锥曲线中的探索性问题直线、圆及圆锥曲线的交汇问题

题型：填空题

填空题 · 5 分

13.椭圆+=1(a>b>0)的左、右顶点分别是A,B,左、右焦点分别是F1,F2.若|AF1|,|F1F2|,|F1B|成等比数列,则此椭圆的离心率为_____.

正确答案

解析

因为A,B为左、右顶点,F1,F2为左、右焦点,

所以|AF1|=a-c,|F1F2|=2c,|BF1|=a+c.

又因为|AF1|,|F1F2|,|BF1|成等比数列,

所以(a-c)(a+c)=4c2,即a2=5c2,

所以离心率e==.

知识点

椭圆的定义及标准方程

题型：简答题

简答题 · 13 分

20.已知椭圆+=1(a>b>0),点P在椭圆上.

（1）求椭圆的离心率;

（2）设A为椭圆的左顶点,O为坐标原点.若点Q在椭圆上且满足|AQ|=|AO|,求直线OQ的斜率的值.

正确答案

（1）解:因为点P在椭圆上,故+=1,可得=.

于是e2==1-=,所以椭圆的离心率e=.

（2）解:设直线OQ的斜率为k,则其方程为y=kx,设点Q的坐标为(x0,y0).

由条件得消去y0并整理得

=.①

由|AQ|=|AO|,A(-a,0)及y0=kx0,得(x0+a)2+k2=a2,整理得(1+k2)+2ax0=0,而x0≠0,

故x0=,代入①,整理得(1+k2)2=4k2·+4.

由(1)知=,故(1+k2)2=k2+4,即5k4-22k2-15=0,可得k2=5.

所以直线OQ的斜率k=±.

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知识点

椭圆的定义及标准方程

题型：简答题

简答题 · 13 分

20．已知椭圆：的左焦点，离心率为，函数，

（Ⅰ）求椭圆的标准方程；

（Ⅱ）设，，过的直线交椭圆于两点，求的最小值，并求此时的的值．

正确答案

解析

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知识点

椭圆的定义及标准方程

题型：简答题

简答题 · 16 分

22．如图已知椭圆：的左、右两个焦点分别为、，设，若为正三角形且周长为．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）已知垂直于轴的直线交椭圆于不同的两点，且分别为椭圆的左顶点和右顶点，设直线与交于点，求点的轨迹方程；

（3）在的条件下，过点作斜率为的直线，设原点到直线的距离为，求的取值范围．

正确答案

（1）由题设得

解得：，

故的方程为

（2）证明：

①

直线的方程为 ②

①×②，得 ③

，

代入③得，即，

因为是不同的两点两点所以

所以点的轨迹方程为双曲线上

（3）设直线

结合第（2）问的结论，整理得：

且

所以的取值范围是

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知识点

椭圆的定义及标准方程

题型：简答题

简答题 · 13 分

21．已知点F1，F2为椭圆的两个焦点，点O为坐标原点，圆O是以F1，F2为直径的圆，一条直线与圆O相切并与椭圆交于不同的两点A，B。

（1）设的表达式；

（2）若求直线的方程；

（3）若，求三角形OAB面积的取值范围。

正确答案

（1）

（2）设

则由，消去y得

又

则

由

（3）由（2）知：

由弦长公式得

解得

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知识点

椭圆的定义及标准方程

题型：简答题

简答题 · 14 分

20．如图，F1、F2分别是椭圆的左右焦点，M为椭圆上一点，MF2垂直于轴，椭圆下顶点和右顶点分别为A，B，且

（1）求椭圆的离心率；

（2）过F2作OM垂直的直线交椭圆于点P，Q，若，求椭圆方程。

正确答案

（1）设

则，

且

即，即

又在椭圆上，

（2）由（1）的椭圆方程为

PQ的直线方程为，则点F1的直线PQ的距离

椭圆方程为

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知识点

椭圆的定义及标准方程

题型：单选题

单选题 · 5 分

2．5展开式中的常数项为（）

A80

B－80

C40

D－40

正确答案

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知识点

椭圆的定义及标准方程

题型：简答题

简答题 · 14 分

20．已知椭圆 ( )的焦距为，一个焦点与短轴两端点构成一个等边三角形，直线

（1）求椭圆的方程；

（2）求b的取值范围。

正确答案

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知识点

椭圆的定义及标准方程

题型：简答题

简答题 · 13 分

20．已知椭圆C:的离心率为，以原点O为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线相切

（Ⅰ）求椭圆C的标准方程

（Ⅱ）若直线L：与椭圆C相交于A．B两点，且

求证：的面积为定值

正确答案

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知识点

椭圆的定义及标准方程圆锥曲线的定点、定值问题直线、圆及圆锥曲线的交汇问题

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