椭圆及其性质_章节学习

1

题型：单选题

|

单选题 · 5 分

9. 在椭圆中，分别是其左右焦点，若椭圆上存在一点P使得，则该椭圆离心率的取值范围是( )

A

B

C

D

正确答案

B

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知识点

椭圆的定义及标准方程椭圆的几何性质

1

题型：单选题

|

单选题 · 5 分

11．动点为椭圆上异于椭圆顶点的一点，为椭圆的两个焦点，动圆与线段的延长线及线段相切，则圆心的轨迹为除去坐标轴上的点的（）

A一条直线

B双曲线右支

C抛物线

D椭圆

正确答案

A

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知识点

椭圆的定义及标准方程直接法求轨迹方程直线、圆及圆锥曲线的交汇问题

1

题型：单选题

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单选题 · 5 分

8．圆心为且与直线相切的圆的方程是（）

A

B

C

D

正确答案

A

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知识点

椭圆的定义及标准方程

1

题型：简答题

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简答题 · 12 分

21．已知点A，点Ｐ是圆上的动点，Ｑ为线段ＡＰ的中点，当点Ｐ在圆上运动时，求动点Ｑ的轨迹方程．

正确答案

设

则

即 …（*）

∵在圆上，

∴ …（**）

将（*）代入（**）得

化简得

动点轨迹方程为：

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知识点

椭圆的定义及标准方程

1

题型：简答题

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简答题 · 15 分

21．已知椭圆C的离心率，长轴的左右端点分别为A1(－2,0)，A2(2,0)．

（I）求椭圆C的方程；

（II）设直线x＝my＋1与椭圆C交于P，Q两点，直线A1P与A2Q交于点S，试问：当m变化时，点S是否恒在一条定直线上？若是，请写出这条直线方程，并证明你的结论；若不是，请说明理由．

正确答案

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知识点

椭圆的定义及标准方程圆锥曲线的定点、定值问题圆锥曲线中的探索性问题直线、圆及圆锥曲线的交汇问题

1

题型：简答题

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简答题 · 12 分

22．已知椭圆C：，直线与椭圆C相交于A、B两点，（其中O为坐标原点）。

（1）试探究：点O到直线AB的距离是否为定值，若是，求出该定值，若不是，请说明理由；

（2）求的最小值。

正确答案

（1）点到直线的距离是定值

设

①当直线的斜率不存在时，

则由椭圆的对称性可知，，

∵，即

也就是

代入椭圆方程解得：

此时点到直线的距离

②当直线的斜率存在时

设直线的方程为

与椭圆联立

消去得：

，

因为，所以

所以

代入得：

整理得

到直线的距离

综上所述，点到直线的距离为定值

（2）（法一：参数法）设，

设直线的斜率为

则的方程为

的方程为

解方程组

得

同理可求得

故

令

则

令

所以，即

当时，可求得

故

故的最小值为，最大值为2

法二：（均值不等式法）

由（1）可知，到直线的距离

在中

故有

即

而（当且仅当时取等号）

代入上式可得：

，

即，（当且仅当时取等号）

故的最小值为

法三：（三角函数法）

由（1）可知

如图，在中

点到直线的距离

设，则

故，

所以，

显然，当，即时，取得最小值，最小值为

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椭圆的定义及标准方程

1

题型：单选题

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单选题 · 5 分

9.能够把圆:的周长和面积同时分为相等的两部分的函数称为圆的“和谐函数”,下列函数不是圆的“和谐函数”的是（　　）

A

B

C

D

正确答案

D

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椭圆的定义及标准方程

1

题型：简答题

|

简答题 · 10 分

17．已知椭圆E：的左顶点为A，左、右焦点分别为F1、F2，且圆C：过A，F2两点。

（1）求椭圆E的方程；

（2）设直线PF2的倾斜角为α，直线PF1的倾斜角为β，当β－α＝时，证明：点P在一定圆上。

正确答案

（1）圆与轴交点坐标为，，

故，所以，∴椭圆方程是：．

（2）设点P（x，y），因为（－，0），（，0），

设点P（x，y），则＝tanβ＝，＝tanα＝，

因为β－α＝，所以tan（β－α）＝－．

因为tan（β－α）＝，

所以．化简得x2＋y2－2y＝3．

所以点P在定圆x2＋y2-2y＝3上．

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椭圆的定义及标准方程

1

题型：单选题

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单选题 · 5 分

6．若为圆的弦的中点，则直线的方程（）

A

B

C

D

正确答案

B

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椭圆的定义及标准方程

1

题型：简答题

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简答题 · 10 分

17．已知圆，直线。

（Ⅰ）求证：对，直线与圆C总有两个不同交点；

（Ⅱ）设与圆C交与不同两点A、B，求弦AB的中点M的轨迹方程；

（Ⅲ）若定点P（1，1）分弦AB为，求此时直线的方程。

正确答案

（Ⅰ）解法一：圆的圆心为，半径为。

∴圆心C到直线的距离

∴直线与圆C相交，

即直线与圆C总有两个不同交点；

方法二：∵直线过定点，

而点在圆内

∴直线与圆C相交，即直线与圆C总有两个不同交点；

（Ⅱ）当M与P不重合时，连结CM、CP，则，

∴

设，则，

化简得：

当M与P重合时，也满足上式。

故弦AB中点的轨迹方程是。

（Ⅲ）设，

由得，

∴，化简得 ①

又由

消去得（*）

∴ ②

由①②解得，

带入（*）式解得，

∴直线的方程为或。

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椭圆的定义及标准方程

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