椭圆及其性质
共751题

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题型：简答题

简答题 · 12 分

20．若椭圆：的离心率等于，抛物线：的焦点在椭圆的顶点上。

（Ⅰ）求抛物线的方程；

（Ⅱ）求的直线与抛物线交、两点，又过、作抛物线的切线、，当时，求直线的方程。

正确答案

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椭圆的定义及标准方程

题型：单选题

单选题 · 5 分

16．已知椭圆，过右焦点F 做不垂直于x轴的弦交椭圆于A、B两点，AB的垂直平分线交x轴于N，则（）

正确答案

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椭圆的定义及标准方程

题型：简答题

简答题 · 12 分

20．设椭圆的焦点在x轴上，斜率为1且过椭圆右焦点F的直线交椭圆于P、Q两点，与共线。

（1）求椭圆的离心率；

（2）设，求椭圆的方程。

正确答案

（1）设F（c,0），由题意得：

代入整理得：

由与共线得

即有又焦点在x轴上

（2）由得

即

化简得：即

将代解得：

∴所求的椭圆方程为：

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椭圆的定义及标准方程

题型：简答题

简答题 · 12 分

21．已知椭圆的右焦点为,离心率为.

（1）若,求椭圆的方程；

（2）设是椭圆上关于原点对称的两点,且点在第一象限,分别为线段的中点.若坐标原点在以为直径的圆上,且,求点的横坐标的取值范围.

正确答案

解:（1）由题意得,结合,解得,所以,椭圆的方程为

（2）依题意,,易知,四边形为矩形,所以

又关于原点对称的两点,所以,设,则

,结合,解得

因为,所以

所以,又在第一象限,即.

(此题也可用或)

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椭圆的定义及标准方程

题型：简答题

简答题 · 14 分

21.如图，已知椭圆的左、右焦点分别为，若以为圆心，为半径作圆，过椭圆上一点作此圆的切线，切点为，且的最小值不小于为．

（1）求椭圆的离心率的取值范围；

（2）设椭圆的短轴长为，圆与轴的右交点为，过点作斜率为的直线与椭圆相交于两点，若，求直线被圆截得的弦长的最大值．

正确答案

解：（1）依题意设切线长

∴当且仅当取得最小值时取得最小值，而

，，从而解得，

故离心率的取值范围是；

（2）依题意点的坐标为，则直线的方程为设，

联立方程组得，

由根与系数的关系，则有，，

代入直线方程得，，

又，，，

直线的方程为，圆心到直线的距离，

由图象可知，

，，，所以．

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椭圆的定义及标准方程

题型：填空题

填空题 · 5 分

13. 已知分别是椭圆的右顶点和上顶点，动点在该椭圆上运动，则的重心的轨迹的方程为_____________________。

正确答案

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椭圆的定义及标准方程

题型：简答题

简答题 · 12 分

19．已知椭圆的离心率为，过右焦点F的直线与椭圆相交于、两点，当的斜率为1时，坐标原点到的距离为

（1）求，的值；

（2）若上存在点P，使得当绕F转到某一位置时，有成立，求出所有P的坐标与的方程。

正确答案

解：（1）设，直线，由坐标原点到的距离为

则，解得．又

（2）由(I）知椭圆C的方程为．设、

由题意知的斜率一定不为0，故不妨设

代入椭圆的方程中整理得，显然。

由韦达定理有：．．．．．．．．①

．假设存在点P，使成立，则其充要条件为：

点，点P在椭圆上，即。

整理得。

又在椭圆上，即．

故．．．．．．．．．．．．．②

将及①代入②解得．

,=,即

当;

当．

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椭圆的定义及标准方程

题型：单选题

单选题 · 5 分

12．已知是椭圆上一点，、是该椭圆的两个焦点，若△的内切圆半径为，则的值为（）

正确答案

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椭圆的定义及标准方程

题型：简答题

简答题 · 12 分

21．已知椭圆的离心率，过点和的直线与坐标原点的距离为。

（1）求椭圆的方程；

（2）已知定点，若直线与椭圆相交于C、D两点，试判断是否存在值，使以CD为直径的圆过定点E？若存在求出这个值，若不存在说明理由。

正确答案

解：（1）直线AB:=1,∴=.① e=.②

由①得，3

由②3得 ∴所求椭圆的方程是+y2=1.

(2).

设，则有

∵，且以CD为圆心的圆点过点E，∴EC⊥ED.

则

∴，解得=＞1,

∴当=时以CD为直径的圆过定点E.

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椭圆的定义及标准方程

题型：单选题

单选题 · 5 分

12．已知抛物线,椭圆,若抛物线与椭圆有公共点,则椭圆的离心率最大为（　　）

正确答案

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