椭圆及其性质_章节学习

1

题型：填空题

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填空题 · 5 分

10.如图，在平面直角坐标系xOy中，F是椭圆的右焦点，直线与椭圆交于B，C两点，且 ,则该椭圆的离心率是 .

正确答案

知识点

椭圆的定义及标准方程

1

题型：单选题

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单选题 · 5 分

11.已知O为坐标原点，F是椭圆C：的左焦点，A，B分别为C的左，右顶点。.P为C上一点，且PF⊥x轴.过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E.若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为

A

B

C

D

正确答案

A

知识点

椭圆的定义及标准方程椭圆的几何性质

1

题型：简答题

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简答题 · 14 分

已知椭圆C：（）的离心率为，，，，的面积为1.

25.求椭圆C的方程；

26.设的椭圆上一点，直线与轴交于点M，直线PB与轴交于点N.

求证：为定值.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

（1）；

解析

（1）

考查方向

1.椭圆方程及其性质；2.直线与椭圆的位置关系.

解题思路

易错点

繁琐的代数运算是此题的特点

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

详见解析.

解析

（2）由（Ⅰ）知，，

考查方向

1.椭圆方程及其性质；2.直线与椭圆的位置关系.

解题思路

易错点

繁琐的代数运算是此题的特点

1

题型：简答题

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简答题 · 14 分

已知椭圆C:（a>b>0）的长轴长为4，焦距为2.

25.求椭圆C的方程；

26.过动点M(0，m)(m>0)的直线交x轴与点N，交C于点A，P(P在第一象限)，且M是线段PN的中点.过点P作x轴的垂线交C于另一点Q，延长线QM交C于点B.

(i)设直线PM、QM的斜率分别为k、k'，证明为定值.

(ii)求直线AB的斜率的最小值.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

(1)

解析

（Ⅰ）由题意得，解得

所以椭圆的方程为。

考查方向

本题考查椭圆的方程以及性质、直线的斜率、直线与椭圆的位置关系，直线斜率的最值问题，考查逻辑思维与运算能力，难度较高。

解题思路

（1）根据椭圆中的性质关系应用待定系数法求方程；

易错点

圆锥曲线中的定值问题

(1)利用特殊情况确定定值，再证明这个值与变量无关．

(2)直接推理、计算，在计算推理的过程中消去变量,从而得到定值

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

(2)(i)定值为-3 (ii)

解析

(Ⅱ)（i）设直线

因为点为直线与轴的交点，所以，

因为点为线段的中点，

所以，得

所以点，所以

故为定值。

（ii）直线与椭圆方程联立

得：，

所以

，

所以

直线与椭圆方程联立

得，

所以

因为点在椭圆上，所以，得

将②代入①得恒成立，

所以，所以，所以（当且仅当时取“=”）

所以当时，的最小值为。

考查方向

本题考查椭圆的方程以及性质、直线的斜率、直线与椭圆的位置关系，直线斜率的最值问题，考查逻辑思维与运算能力，难度较高。

解题思路

（2）应用坐标法结合中点坐标公式求定值，将直线与椭圆联立根据韦达定理利用设而不求的方法求出直线斜率，然后应用基本不等式求最值。

易错点

圆锥曲线中的定值问题(2)直接推理、计算，在计算推理的过程中消去变量,从而得到定值

1

题型：填空题

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填空题 · 12 分

（本小题满分12分）

已知椭圆E:的焦点在轴上，A是E的左顶点，斜率为k(k>0)的直线交E于A,M两点，点N在E上，MA⊥NA.

（I）当t=4，时，求△AMN的面积；

（II）当时，求k的取值范围.

正确答案

（I）设，则由题意知，当时，的方程为，.

由已知及椭圆的对称性知，直线的倾斜角为.因此直线的方程为.

将代入得.解得或，所以.

因此的面积.

（II）由题意，，.

将直线的方程代入得.

由得，故.

由题设，直线的方程为，故同理可得，

由得，即.

当时上式不成立，

因此.等价于，

即.由此得，或，解得.

因此的取值范围是.

知识点

椭圆的定义及标准方程椭圆的几何性质圆锥曲线中的探索性问题直线、圆及圆锥曲线的交汇问题

1

题型：填空题

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填空题 · 13 分

（本小题满分13分）

已知椭圆E：的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的三个顶点，直线l:y=-x+3与椭圆E有且只有一个公共点T.

（I）求椭圆E的方程及点T的坐标；

（II）设O是坐标原点，直线l’平行于OT,与椭圆E交于不同的两点A、B，且与直线l交于点P.证明：存在常数λ，使得∣PT∣2=λ∣PA∣·∣PB∣，并求λ的值.

正确答案

（I）由已知，，则椭圆E的方程为.

有方程组得.①

方程①的判别式为，由，得，

此方程①的解为，

所以椭圆E的方程为.

点T坐标为（2,1）.

（II）由已知可设直线的方程为，

有方程组可得

所以P点坐标为（），.

设点A，B的坐标分别为 .

由方程组可得.②

方程②的判别式为，由，解得.

由②得.

所以，

同理，

所以

.

故存在常数，使得.

知识点

椭圆的定义及标准方程椭圆的几何性质圆锥曲线的定点、定值问题直线、圆及圆锥曲线的交汇问题

1

题型：简答题

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简答题 · 14 分

19. 已知椭圆C：（a>b>0）的离心率为，A（a,0）,B(0,b)，O（0，0），△OAB的面积为1.

（I）求椭圆C的方程；

(I I)设P是椭圆C上一点，直线PA与Y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N。

求证：AN·BM为定值。

正确答案

解：（Ⅰ）由题意得解得.

所以椭圆的方程为.

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，

设，则.

当时，直线的方程为.

令，得.从而.

直线的方程为.

令，得.从而.

所以

.

当时，，

所以.

综上，为定值.

知识点

椭圆的定义及标准方程

1

题型：简答题

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简答题 · 15 分

如图，设椭圆C:

22.求直线被椭圆截得到的弦长（用a,k表示）

23.若任意以点为圆心的圆与椭圆至多有三个公共点，求椭圆的离心率的取值范围.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

联立方程，得

解之得或，所以弦长=

解题思路

本小题考察直线和椭圆相交的弦长问题，比较简单，属于送分性质，同时也可以为第23小题的解答坐铺垫。

易错点

不会对条件“任意以点为圆心的圆与椭圆至多有三个公共点”进行等价转化。

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

假设圆与椭圆的公共点有个，由对称性可设轴左侧的椭圆上有两个不同的点，满足。

记直线，的斜率分别为，，且，，．

由（1）知，

故

所以

由于．

因此

对于上式关于方程有解的充要条件是，得

因此，任意以为圆心的圆与椭圆至多有三个公共点的充要条件是，

离心率，因此椭圆离心率的取值范围

解题思路

由于圆与椭圆至多有三个公共点，由于图形的对称性，圆与椭圆y轴单侧不可嫩有2个公共点，即弦长在y轴单侧处处不相等。

易错点

不会对条件“任意以点为圆心的圆与椭圆至多有三个公共点”进行等价转化。

1

题型：单选题

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单选题 · 5 分

11.已知O为坐标原点，F是椭圆C：的左焦点，A，B分别为C的左，右顶点.P为C上一点，且轴.过点A的直线l与线段交于点M，与y轴交于点E.若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为

A

B

C

D

正确答案

A

考查方向

椭圆方程与几何性质．

解题思路

结合直线方程，三角形相似关系通过成比例的方程关系转化求解。

易错点

构造离心率的等量关系。

知识点

椭圆的定义及标准方程

1

题型：简答题

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简答题 · 14 分

平面直角坐标系中，椭圆C：的离心率是，抛物线E：的焦点F是C的一个顶点.

25.求椭圆C的方程；

26.设P是E上的动点，且位于第一象限，E在点P处的切线与C交与不同的两点A，B，线段AB的中点为D，直线OD与过P且垂直于x轴的直线交于点M.

（i）求证：点M在定直线上;

（ii）直线与y轴交于点G，记△PFG的面积为，△PDM的面积为，求的最大值及取得最大值时点P的坐标.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

（Ⅰ）;

解析

（Ⅰ）由题意知，可得：.

因为抛物线的焦点为，所以，

所以椭圆C的方程为.

考查方向

本题考查椭圆方程；直线和抛物线的关系；二次函数求最值；考查运算求解能力，难度较高。

解题思路

根据椭圆的离心率和焦点求方程；

易错点

（1）探索直线过定点，先求出直线的方程，借助于直线系的思想证明直线过定点，或者从特殊情况入手，先探求定点，再证明与变量无关.

（2）证明动点在定直线上，就是求动点的轨迹，证明轨迹是直线.

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

（Ⅱ）（i）见解析；（ii）的最大值为，此时点的坐标为

解析

（Ⅱ）（i）设，由可得，

所以直线的斜率为，

因此直线的方程为，即.

设，联立方程

得，

由，得且，

因此,

将其代入得，

因为，所以直线方程为.

联立方程，得点的纵坐标为，

即点在定直线上.

（ii）由（i）知直线方程为，

令得，所以，

又，

所以，

，

所以，

令，则，

当，即时，取得最大值，此时，满足，

所以点的坐标为，因此的最大值为，此时点的坐标为.

考查方向

本题考查椭圆方程；直线和抛物线的关系；二次函数求最值；考查运算求解能力，难度较高。

解题思路

由P的坐标和斜率设出直线1的方程和抛物线联立，进而判断点M在定直线上；分别列出面积的表达式，根据二次函数求最值和点的坐标；

易错点

（1）探索直线过定点，先求出直线的方程，借助于直线系的思想证明直线过定点，或者从特殊情况入手，先探求定点，再证明与变量无关.

（2）证明动点在定直线上，就是求动点的轨迹，证明轨迹是直线.

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正确答案

知识点

正确答案

知识点

正确答案

解析

考查方向

解题思路

易错点

正确答案

解析

考查方向

解题思路

易错点

正确答案

解析

考查方向

解题思路

易错点

正确答案

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考查方向

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易错点

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知识点

正确答案

知识点

正确答案

知识点

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解题思路

易错点

正确答案

解析

解题思路

易错点

正确答案

考查方向

解题思路

易错点

知识点

正确答案

解析

考查方向

解题思路

易错点

正确答案

解析

考查方向

解题思路

易错点