椭圆及其性质_章节学习

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题型：填空题

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填空题 · 4 分

椭圆，参数的范围是）的两个焦点为、，以为边作正三角形，若椭圆恰好平分正三角形的另两条边，且，则等于。

正确答案

解析

略

知识点

椭圆的几何性质椭圆的参数方程

1

题型：单选题

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单选题 · 5 分

已知椭圆过右焦点F且斜率为k（k＞0）的直线于C相交于A、B两点，若则k=（　　）

A1

B

C

D2

正确答案

B

解析

知识点

向量在几何中的应用椭圆的几何性质直线与椭圆的位置关系

1

题型：填空题

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填空题 · 5 分

椭圆的离心率等于（）

正确答案

解析

略

知识点

椭圆的几何性质

1

题型：填空题

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填空题 · 5 分

如图，是椭圆与双曲线的公共焦点，A，B分别是在第二、四象限的公共点.若四边形为矩形，则的离心率是_________.

正确答案

解析

略

知识点

椭圆的几何性质双曲线的几何性质

1

题型：简答题

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简答题 · 14 分

给定椭圆：，称圆心在原点，半径为的圆是椭圆的“准圆”，若椭圆的一个焦点为，其短轴上的一个端点到的距离为。

（1）求椭圆的方程和其“准圆”方程；

（2）点是椭圆的“准圆”上的动点，过点作椭圆的切线交“准圆”于点。

（ⅰ）当点为“准圆”与轴正半轴的交点时，求直线的方程并证明；

（ⅱ）求证：线段的长为定值。

正确答案

见解析

解析

（1），

椭圆方程为，………………………………2分

准圆方程为，………………………………3分

（2）（ⅰ）因为准圆与轴正半轴的交点为，

设过点且与椭圆相切的直线为，

所以由得。

因为直线与椭圆相切，

所以，解得，………………………………6分

所以方程为，………………………………7分

，，………………………………8分

（ⅱ）①当直线中有一条斜率不存在时，不妨设直线斜率不存在，

则：，

当：时，与准圆交于点，

此时为（或），显然直线垂直；

同理可证当：时，直线垂直，………………………………10分

②当斜率存在时，设点，其中。

设经过点与椭圆相切的直线为，

所以由

得。

由化简整理得，

因为，所以有。

设的斜率分别为，因为与椭圆相切，

所以满足上述方程，

所以，即垂直，………………………………12分

综合①②知：因为经过点，又分别交其准圆于点，且垂直。

所以线段为准圆的直径，，

所以线段的长为定值，………………………………14分

知识点

椭圆的定义及标准方程椭圆的几何性质圆锥曲线的定点、定值问题直线、圆及圆锥曲线的交汇问题

1

题型：单选题

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单选题 · 5 分

已知离心率为的双曲线和离心率为的椭圆有相同的焦点、，是两曲线的一个公共点，若，则等于（）

A

B

C

D

正确答案

C

解析

略

知识点

椭圆的几何性质双曲线的几何性质

1

题型：单选题

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单选题 · 5 分

设为定义在上的可导函数，定义运算和如下：对均有；，若，使得对于，恒有成立，则称实数为函数的基元，则下列函数中恰有两个基元的是（）

A

B

C

D

正确答案

A

解析

由新定义可知，若实数为函数的基元等价于且，由此易知函数有两个基元，函数和函数有一个基元，函数有无穷多个基元，故选A。

知识点

椭圆的几何性质

1

题型：简答题

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简答题 · 13 分

已知椭圆E：与直线：交于A,B两点,O为坐标原点。

（1）若直线l椭圆的左焦点，且k=1，求△ABC的面积；

（2）若，且直线l与圆O：相切，求圆O的半径r的值。

正确答案

见解析

解析

知识点

椭圆的几何性质直线、圆及圆锥曲线的交汇问题

1

题型：单选题

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单选题 · 5 分

已知动点在椭圆上，为椭圆的右焦点，若点满足且，则的最小值为（）。

A

B3

C

D1

正确答案

A

解析

已知，因为，所以点为圆：上的动点；因为，所以，故直角中，，当线段取到最小值是满足题意；有椭圆的性质可知，即当点与点时，。

知识点

量积判断两个平面向量的垂直关系椭圆的几何性质

1

题型：简答题

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简答题 · 13 分

如图，椭圆的左顶点为，是椭圆上异于点的任意一点，点与点关于点对称。

（1）若点的坐标为，求的值；

（2）若椭圆上存在点，使得，求的取值范围。

正确答案

（1）

（2）

解析

（1）解：依题意，是线段的中点，

因为，，

所以点的坐标为。………………2分

由点在椭圆上，

所以， ………………4分

解得。 ………………5分

（2）解：设，则，且。 ① ………………6分

因为是线段的中点，

所以。 ………………7分

因为，

所以。 ② ………………8分

由 ①，② 消去，整理得。 ………………10分

所以， ………………12分

当且仅当时，上式等号成立。

所以的取值范围是。 ………………13分

知识点

椭圆的几何性质

热门试卷

正确答案

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