椭圆及其性质_章节学习

1

题型：单选题

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单选题 · 5 分

已知椭圆的右焦点为,右准线为，点，线段交于点，若,则=

A

B2

C

D3

正确答案

A

解析

过点B作于M,并设右准线与x轴的交点为N，易知FN=1.由题意,故.又由椭圆的第二定义,得.故选A

知识点

平行向量与共线向量椭圆的几何性质

1

题型：简答题

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简答题 · 14 分

如图，设椭圆中心在坐标原点，是它的两个顶点，直线与相交于点，与椭圆相交于两点。

（1）若，求的值。

（2）求四边形面积的最大值。

正确答案

见解析

解析

（1）依题可设得椭圆的方程为。

直线的方程分别为

设，其中，且满足方程，故

由知

点在直线上得

所以，化简得：，解得

（2）解法1：根据点到直线的距离公式和①式知，点到的距离分别为：

又，所以四边形的面积为

当，即时，上式取等号。所以的最大值为。

解法2：由题设，。

设，由①得，故四边形的面积为当时，上式取等号。所以的最大值为。

知识点

向量在几何中的应用椭圆的几何性质直线、圆及圆锥曲线的交汇问题

1

题型：简答题

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简答题 · 14 分

已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的离心率为，且该椭圆上一点A与左、右焦点F1，F2构成的三角形周长为2+2。

（1）求椭圆C的方程；

（2）记椭圆C的上顶点为B，直线l交椭圆C于P，Q两点，问：是否存在直线l，使椭圆C的右焦点F2恰为△PQB的垂心（△PQB三条边上的高线的交点）？若存在，求出直线l的方程，若不存在，请说明理由。

（3）若⊙M是以AF2为直径的圆，求证：⊙M与以坐标原点为圆心，a为半径的圆相内切。

正确答案

见解析。

解析

（1）∵椭圆C：=1（a＞b＞0）的离心率为，

∴，

该椭圆上一点A与左、右焦点F1，F2构成的三角形周长为2+2，

∴|AF1|+|AF2|+|F1F2|=2a+2c=+2。

解得a=，c=1，∴=1。

∴椭圆C的方程为=1。

（2）假设存在直线l，使椭圆C的右焦点F2恰为△PQB的垂心。

设P（x1，y1），Q（x2，y2），则BF2⊥PQ。

∵B（0，1），F2（1，0），∴=﹣1，∴kPQ=1。

设直线l的方程为：y=x+m，联立，

化为3x2+4mx+2m2﹣2=0，则x1+x2=，x1x2=，（*）。

∵，

∴x1（x2﹣1）+y2（y1﹣1）=0，

∴x1（x2﹣1）+（x2+m）（x1+m﹣1）=0，化为2x1x2+（x1+x2）（m﹣1）+m2﹣m=0，

∴﹣+m2﹣m=0，化为3m2+m﹣4=0，解得，m=1。

经检验m=﹣符合条件，直线l的方程为y=x﹣。

（3）证明：设A（x0，y0），F2（1，0），则M，

设两圆的半径分别为r1，r2。

|OM|===。

又⊙M的半径r1=|MF2|=，r2=a=。

∴r2﹣r1==。

∴|OM|=r2﹣r1。

∴⊙M与以坐标原点为圆心，a为半径的圆相内切。

知识点

椭圆的几何性质

1

题型：单选题

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单选题 · 5 分

离心率为的椭圆与双曲线有相同的焦点，且椭圆长轴的端点、短轴的端点、焦点到双曲线的一条渐近线的距离依次构成等差数列，则双曲线的离心率等于

A

B

C

D

正确答案

C

解析

解析：

设椭圆：，双曲线：，则，，，椭圆顶点、、焦点到双曲线渐近线的距离依次为、、，从而，所以，即，所以，，，选C。

知识点

等差数列的性质及应用椭圆的几何性质双曲线的几何性质

1

题型：填空题

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填空题 · 5 分

15．如图，椭圆的长轴为A1A2，短轴为B1B2，将坐标平面沿y轴折成一个二面角，使点A2在平面B1A1B2上的射影恰好是该椭圆的左焦点，则此二面角的大小为（）。

正确答案

解析

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知识点

线面角和二面角的求法椭圆的几何性质

1

题型：单选题

|

单选题 · 5 分

5.若椭圆经过点P（2，3），且焦点为F1(－2,0),F2(2,0)，则这个椭圆的离心率等于（）

A

B

C

D

正确答案

C

解析

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知识点

椭圆的几何性质

1

题型：单选题

|

单选题 · 5 分

8. 已知分别为椭圆的左右顶点，椭圆上异于的点恒满足，则椭圆的离心率为（）

A

B

C

D

正确答案

D

解析

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知识点

椭圆的几何性质

1

题型：填空题

|

填空题 · 4 分

8．已知椭圆和双曲线有公共的焦点，那么双曲线的渐进线方程是（）

正确答案

解析

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知识点

椭圆的几何性质双曲线的几何性质

1

题型：单选题

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单选题 · 5 分

12．已知定直线与平面α成45°，点P是面α内的一动点，且点P到直线的距离为2，则动点Ｐ的轨迹的离心率是（　　）

A

B

C１

D

正确答案

B

解析

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知识点

线面角和二面角的求法椭圆的几何性质

1

题型：简答题

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简答题 · 14 分

20.已知椭圆和圆,过椭圆上一点引圆的两条切线，切点分别为．

（1）（ⅰ）若圆过椭圆的两个焦点，求椭圆的离心率的值；

（ⅱ）若椭圆上存在点，使得，求椭圆离心率的取值范围；

（2）设直线与轴、轴分别交于点，问当点P在椭圆上运动时，是否为定值？请证明你的结论．

正确答案

解析

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知识点

椭圆的几何性质圆锥曲线的定点、定值问题圆锥曲线中的探索性问题直线、圆及圆锥曲线的交汇问题

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