热门试卷

证明：（1）如图所示，

取BC的中点G，连接AG，FG。

又∵F为C1B的中点，∴。

在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，，E为A1A的中点，

∴，

∴四边形AEFG是平行四边形。

∴EF∥AG。

∵EF⊄平面ABC，AG⊂平面ABC，

∴EF∥平面ABC。

（2）∵点D是正△ABC的BC边的中点，∴BD⊥AC，

由正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，可得侧面ACC1A1⊥平面ABC，∴BD⊥侧面ACC1A1。

∴BD⊥C1E。

∵，

∴Rt△A1C1E∽Rt△AED，

∴∠A1EC1=∠ADE。

∴，

∴C1E⊥ED。

∵ED∩DB=D。

∴C1E⊥平面BDE。

证明:方法一:

∵PD⊥平面ABCD∴PD⊥CD………………………………………………………………1分

∵CD⊥AD∴CD⊥平面PAD………………………………………………………2分

∵CD平面PCD∴平面PCD⊥平面PAD………………………………………………3分

方法二：略（向量法）

（2）

如图以D为原点,以为方向向量建立空间直角坐标系D-xyz.

则有关点及向量的坐标为: ………………………………4分

G（1，2，0）,E（0，1，1），F（0，0，1）

=（0，-1，0），=（1，1，-1）……5分

设平面EFG的法向量为=（x，y，z）

∴

取=(1,0,1) ………………………………………………………………6分

平面PCD的一个法向量, =(1,0,0)…………………………………7分

∴cos………………………………8分

结合图知二面角G-EF-D的平面角为45°……………………………9分

PD=………………12分

（1）F是AB的中点，证明如下：

连结DF，又因为D、E分别是BC、A1C1的中点，

所以DF∥=AC，又AC∥=A1C1，且A1E＝A1C1，

则DF∥=A1E，故四边形A1FDE是平行四边形，

所以DE∥A1F，又A1F平面A1CF，DE平面A1CF，

所以DE∥平面A1CF。

（2）由题∠AA1B1＝60°，设A1A＝2，则A1B1＝1，

所以，

则，所以A1B1⊥AB1，

过点B1作平面A1B的垂线B1z，分别以，，的方向为x，y，z轴，建立如图空间直角坐标系。

有，，，，

则，，，

设平面A1CF，平面A1AC的法向量分别为，，

由即取，

由即取，

所以，

所以二面角A－A1C－F的余弦值为。

解：（1）证明：连接，在中，作于点，因为//，得。

因为平面，

所以,,因为，

得,所以平面，所以，

所以平面

又

得

（2）如图所示，分别以所在的直线为轴建立空间直角坐标系，则

由（1）可知得点的坐标为,

由（1）可知平面的法向量是,

设平面的法向量，由,得

令，得，即，

所以，

即所求二面角的平面角与互补，所求的余弦值是。