棱柱的结构特征
共46题

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题型：简答题

简答题 · 10 分

23．直三棱柱中，，，，，.

（1）若，求直线与平面所成角的正弦值；

（2）若二面角的大小为，求实数的值.

正确答案

（1）；

（2）

解析

试题分析：本题属于空间向量中的基本问题，题目的难度是逐渐由易到难，（1）直接按照求直线与平面所成角的步骤来求（2）根据求二面角的步骤，列出关于实数的方程来求解。

分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系.

则，，，，，

（1）当时，为的中点，所以，，，，设平面的法向量为

则，所以取，又，

所以直线与平面所成角的正弦值为.

（2），，，，

设平面的法向量为，则，

所以取.

又平面的一个法向量为，由题意得，

所以，解得或（不合题意，舍去），

所以实数的值为.

考查方向

本题考查了空间向量、二面角、直线与平面所成角。

解题思路

本题考查二面角、直线与平面所成角的方法。

（1）直线与平面α所成角可先求出平面α的法向量n与直线的方向向量，则

（2）求出二面角α－l－β的大小，可先求出两个半平面α与β的法向量n1，n2，若二面角α－l－β所成的角θ为锐角，则cos θ＝|cos〈n1，n2〉|＝；若二面角α－l－β所成的角θ为钝角，则cos θ＝－|cos〈n1，n2〉|＝－

易错点

1、建立空间直角坐标系后，点的坐标书写不正确。

2、二面角、直线与平面所成角的求解。

知识点

棱柱的结构特征线面角和二面角的求法

题型：简答题

简答题 · 12 分

正确答案

ＬＵＥ

知识点

棱柱的结构特征线面角和二面角的求法

题型：简答题

简答题 · 12 分

正确答案

略

知识点

棱柱的结构特征线面角和二面角的求法

题型：简答题

简答题 · 12 分

19.（本题满分12分）

如图，长方体中,，，，点，分别在，上，.过点，的平面与此长方体的面相交，交线围成一个正方形.

（Ⅰ）在图中画出这个正方形（不必说出画法和理由）；

（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值.

正确答案

（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）.

试题分析：（Ⅰ）由线面平行和面面平行的性质画平面与长方体的面的交线；（Ⅱ）由交线围成的正方形，计算相关数据.以为坐标原点，的方向为轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，并求平面的法向量和直线的方向向量，利用求直线与平面所成角的正弦值.

试题（Ⅰ）交线围成的正方形如图：

（Ⅱ）作，垂足为，则，，因为为正方形，所以.于是，所以.以为坐标原点，的方向为轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，.设是平面的法向量，则即所以可取.又，故.所以直线与平面所成角的正弦值为.

解析

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知识点

棱柱的结构特征线面角和二面角的求法

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