双曲线的几何性质_章节学习

1

题型：单选题

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单选题 · 5 分

1．若双曲线的焦点在x轴上，则实数k的取值范围是（）

A（一∞，1）

B(2，+∞)

C(1,2)

D(一∞,1)U(2,+∞)

正确答案

A

解析

本题属于双曲线中的基本问题，题目的难度是简单。

考查方向

主要考查了双曲线的标准方程,在近几年的各省高考题出现的频率较高。

解题思路

无

易错点

本题易在求解时把分母平方运算。

知识点

椭圆的几何性质双曲线的几何性质

1

题型：单选题

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单选题 · 5 分

11．双曲线C：的左、右焦点分别为，，M，N两点在双曲线C上，且MN∥F1F2，，线段F1N交双曲线C于点Q，且，则双曲线C的离心率为（）

A

B2

C

D

正确答案

D

解析

由于MN∥F1F2，，所以，又因为，所以Ｑ是的中点，所以，Ｎ，Ｑ代入双曲线的标准方程中，可以求得，所以选B选项。

考查方向

本题主要考查了双曲线的定义、方程以及几何性质等知识点，同时考查了综合法、转化法等思想方法以及学生的计算能力。

解题思路

确定N、Q的坐标，代入双曲线方程，即可求出双曲线的离心率。

易错点

本题容易因为对双曲线的性质记忆不清楚而导致题目无法进行。

知识点

双曲线的几何性质

1

题型：单选题

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单选题 · 5 分

11．双曲线C：的左、右焦点分别为，，M，N两点在双曲线C上，且MN∥F1F2，，线段F1N交双曲线C于点Q，且，则双曲线C的离心率为

A

B2

C

D

正确答案

D

解析

如下图所示，由可设点坐标为，由知为的中点，故点坐标为，把点坐标与点坐标代入双曲线方程得：

，整理得，故，选择D选项。

考查方向

本题主要考查了双曲线的方程与性质的综合应用,为高考必考题，在近几年的各省高考题出现的频率较高，常与双曲线的性质、直线与双曲线的位置关系等知识点交汇命题。

解题思路

先分别求出两个集合中代表元素的取值范围，再求交集。

易错点

对于已知条件不知如何处理导致出错。

知识点

双曲线的几何性质直线与双曲线的位置关系

1

题型：填空题

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填空题 · 4 分

9．已知点和的横坐标相同，的纵坐标是的纵坐标的倍，和的轨迹分别为双曲线和．若的渐近线方程为，则的渐近线方程为_________．

正确答案

解析

由题意得：：，设，则，所以，即的渐近线方程为

知识点

双曲线的定义及标准方程双曲线的几何性质

1

题型：单选题

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单选题 · 5 分

11. 已知双曲线的左、右两个焦点分别为为其左、右顶点，以线段为直径的圆与双曲线的渐近线在第一象限的交点为，且,则双曲线的离心率为（）

A

B.

C

D

正确答案

B

解析

利用交点这一突破口，建立方程关系，进而求出a和c的关系，所以得到离心率为，所以选B

考查方向

直线与圆的方程、圆锥曲线双曲线的渐近线与离心率、余弦定理

解题思路

先设交点坐标，与渐近线联立方程组，最后用余弦定理求得

易错点

计算错误、离心率、渐近线方程错误

知识点

双曲线的几何性质直线、圆及圆锥曲线的交汇问题

1

题型：单选题

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单选题 · 5 分

8. 设F1、F2是双曲线的两个焦点，P在双曲线上，且满足∠F1PF2=90°，则

△PF1F2的面积是（）

A2

B1

C

D

正确答案

B

解析

设其中较小的直角边长为，则令一条直角边长为，斜边为，根据勾股定理得，解得，负的舍去，得到，所以，面积为

考查方向

本题主要考查双曲线的概念与计算，难度中档，属高考热点之一。经常结合离心率、弦长、三角形的面积等一起出题，计算量有时候较大，须细心。

解题思路

根据双曲线定义，设其中较小的直角边长为，则令一条直角边长为，斜边为，根据勾股定理求出，进而求出面积。

易错点

忘记双曲线的定义，不记得两个焦半径之间的边长关系，导致无法列方程求出边长，也就无法求出面积。

知识点

双曲线的定义及标准方程双曲线的几何性质

1

题型：单选题

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单选题 · 5 分

11．过点的直线与双曲线的一条斜率为正值的渐进线平行，若双曲线的右支上的点到直线的距离恒大于，则双曲线的离心率为取值范围是（）

A

B

C

D

正确答案

A

解析

过点且与斜率为正的渐近线平行的直线方程为，与之平行的渐近线方程为，那么两条平行线间的距离为

解得，又因为双曲线离心率大于1，所以选A

考查方向

本题主要考察了双曲线及其渐近线的性质，在高考中常会涉及离心率、弦长、以及参数的取值范围等，难度较大，而且考察频率很高

解题思路

因为双曲线是无限接近于它的渐近线的，所以双曲线到直线的距离恒大于，可以看做渐近线上的点到它的距离恒大于或等于

易错点

不能将曲线到直线的距离转化成直线到直线的距离，导致计算繁琐甚至出错

知识点

双曲线的几何性质直线与双曲线的位置关系

1

题型：单选题

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单选题 · 5 分

11.如图，已知是双曲线的下，上焦点，过点作以为圆心，为半径的圆的切线，为切点，若切线段被一条渐近线平分，则双曲线的离心率为

A

B

C

D

正确答案

B

解析

设，

由题意得，，，

所以

因为是的中点，

所以，

所以

而，

所以，

所以，故选B。

考查方向

此题主要考查圆的切线的性质，双曲线的几何性质以及对于几何图形的识图能力，意在考查考生的综合解题能力。

解题思路

1、选根据题中条件求出然后利用中位线得到，进而

2.利用渐近线的斜率得到，从而确定，最终确定答案。

易错点

1、无法将题中条件准确转化；

2.焦点在y轴上的双曲线的渐近线的方程与焦点在x轴上的渐近线方程不同，此点容易出错。

知识点

双曲线的几何性质直线、圆及圆锥曲线的交汇问题

1

题型：单选题

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单选题 · 3 分

11.F为双曲线=1（a>0，b>0）的右焦点，若上存在一点P使得△OPF为等边三角形（O为坐标原点），则的离心率e的值为

A2

B

C

D+1

正确答案

D

解析

若设双曲线的左焦点为F’，

连接P F’，

由几何关系可知三角形P F’F是直角三角形，

PF’=c, PF=c

所以PF’-PF=c –c=2a，

所以e=，

故选D。

考查方向

本题主要考查了双曲线的定义、离心率等问题。

解题思路

若设双曲线的左焦点为F’，连接P F’，由几何关系可知三角形P F’F是直角三角形，然后利用双曲线的定义即的a与c的关系，从而求得离心率。

易错点

若设双曲线的左焦点为F’，不能想到连接P F’,利用双曲线的定义解题。

知识点

双曲线的几何性质

1

题型：单选题

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单选题 · 5 分

9.为双曲线的右焦点，点在双曲线右支上，（）满足，，则双曲线的离心率为 ( )

A

B

C2

D

正确答案

B

解析

直线PF的方程为y=x-2，与抛物线方程联立，解得x=4,所以6.A选项不正确，C选项不正确，D选项不正确，所以选B选项。

考查方向

本题主要考查了抛物线的简单几何性质,在近几年的各省高考题出现的频率较高。A选项不正确，C选项不正确，D选项不正确，所以选B选项。

解题思路

本题考查抛物线的简单几何性质，解题步骤如下：1、由题可知，易得直线PF的方程。2、将直线方程与抛物线联立，解得6.

易错点

本题易在求解时把分母平方运算。

知识点

双曲线的几何性质

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