双曲线的几何性质_章节学习

1

题型：单选题

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单选题 · 5 分

11.双曲线的左、右焦点分别为，渐近线分别为，点在第一象限内且在上，若，则该双曲线的离心率为（）

A

B2

C

D

正确答案

B

解析

双曲线的渐近线方程为，不妨的方程分别为．
因为，所以直线的方程为．

由得点坐标为．

由，得，

整理得，，所以，所以该双曲线的离心率为2．

应选B．

考查方向

本题主要考查双曲线方程、渐近线、直线与双曲线的位置关系等知识，难度中等，考查化归与转化、数形结合思想方法以及运算能力。

解题思路

1.列方程组求出P点坐标；

2.由，找出斜率关系，列出等式，求出结果，应选B。

易错点

1.易混淆焦点在X轴与Y轴的双曲线的渐近线方程;

2.解包含有字母系数的方程组时，易出错。

知识点

两条直线平行与倾斜角、斜率的关系双曲线的几何性质直线与双曲线的位置关系

1

题型：单选题

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单选题 · 5 分

11.双曲线的两顶点为A1，A2，虚轴两端点为B1，B2，两焦点为F1，F2.若以A1A2为直径的圆内切于菱形F1B1F2B2 ,则双曲线的离心率是( )

A

B

C

D

正确答案

C

解析

由题意得直线的方程为，即，以A1A2为直径的圆内切于菱形以A1A2为直径的圆内切于菱形F1B1F2B2 可知圆心到直线的距离等于a，所以，化简得，两边同除以得到，所以，故选C。

考查方向

本题主要考查双曲线的性质，直线与圆的位置关系等知识，意在考查考生树形结合、综合处理问题的能力。

解题思路

1.先将直线的方程表示出来，找到以A1A2为直径的圆的圆心和半径；

2.根据直线与圆相切得到，进而可求出离心率。

易错点

不会转化题中的条件：以A1A2为直径的圆内切于菱形F1B1F2B22.在由求解离心率的运算中出错。

知识点

双曲线的几何性质直线、圆及圆锥曲线的交汇问题

1

题型：简答题

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简答题 · 12 分

21. 已知函数，满足，且，为自然对数的底数.

（Ⅰ）已知，求在处的切线方程；

（Ⅱ）设函数，为坐标原点，若对于在时的图象上的任一点，在曲线上总存在一点，使得，且的中点在轴上，求的取值范围.

正确答案

（1）

（2）

解析

解：

（1），，，。在处的切线方程为：，即

（2），，，从而

设为在时的图象上的任意一点，则，的中点在轴上，的坐标为，，，所以，，.由于，所以

当时，恒成立，

当时，，令，则

，，，从而在上为增函数，由于时，，

考查方向

本题主要考查导数在研究函数性质中的应用、导数的几何意义、考查分离参数法，构造函数等知识，意在考查考生综合解决问题的能力。

解题思路

1.第（1）直接利用求导，导数的几何意义直接得到所求的切线方程；

2.第（2）问先设P点坐标后表示出Q点坐标带入中得到，后分离参数求出a的范围。

易错点

1.对于的表达式无法求出；

2.不会构造新函数导致不会求a的取值范围。

3.分类讨论的分类标准不会把握。

知识点

双曲线的几何性质

1

题型：单选题

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单选题 · 5 分

5. 已知双曲线C：的离心率，点是抛物线上的一动点，P到双曲线C的上焦点的距离与到直线的距离之和的最小值为，则该双曲线的方程为（） [来源:学*科*

A

B

C

D

正确答案

B

解析

由题可知：得2c=√5a，设P(y2/4,y)，利用距离公式代入求解，得：双曲线的方程为。

A选项不正确，C选项不正确，D选项不正确，所以选B选项。

考查方向

本题主要考查抛物线与双曲线的简单几何性质

解题思路

利用圆锥曲线的图像性质，即可得到结果。

A选项不正确，C选项不正确，D选项不正确，所以选B选项。

易错点

本题易在表示待定系数时发生错误。

知识点

双曲线的几何性质

1

题型：单选题

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单选题 · 5 分

6．已知双曲线与抛物线的一个交点为，为抛物线的焦点，若，则双曲线的渐近线方程（）

A

B

C

D

正确答案

C

解析

因为P在抛物线上，,

所以满足，

所以，

解得,因为点P在双曲线上，

将P点坐标带入，可得m=3,

所以渐近线方程为，

所以选C.

考查方向

双曲线的性质抛物线的性质

解题思路

以PF等于5为突破口，建立方程，求出m的值，进而求出双曲线的渐近线方程

易错点

建立方程后，解方程错误

知识点

双曲线的几何性质抛物线的标准方程和几何性质

1

题型：单选题

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单选题 · 5 分

4.已知A，B为双曲线E的左，右顶点，点M在E上，△ABM为等腰三角形，顶角为120°，则E离心率为（）

A

B2

C

D[

正确答案

D

解析

设在双曲线的左支上，

且，,

则的坐标(-2a,a),

带入

可整理得a=b,

所以.

考查方向

双曲线的简单几何性质.

解题思路

本题考查了双曲线的简单几何性质，

先算出M的坐标然后可得到a,b关系，

从而算出离心率。

易错点

在算点M的坐标易错。

知识点

双曲线的几何性质

1

题型：填空题

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填空题 · 5 分

15．已知双曲线的渐近线被圆截得的弦长为2，则该双曲线的离心率为．

正确答案

解析

双曲线的渐近线方程为，圆可化为，得到其圆心为（3,0），半径为2.由双曲线的渐近线被圆截得的弦长为2可知，圆心（3,0）到渐近线的距离为，所以，解得，所以，即双曲线的离心率为。

考查方向

本题主要考查双曲线的渐近线方程，直线与圆的位置关系，点到直线的距离公式等知识，意在考查考生运算求解能力和转化与化归的能力。

解题思路

1.先求出圆心到双曲线渐近线的距离；

2.利用点到直线的距离公式表示出，进而求出a，b的关系，最后求出离心率。

易错点

1.渐近线的方程求错；

2.不会数形结合由弦长转化为求点到直线的距离。

知识点

双曲线的几何性质直线、圆及圆锥曲线的交汇问题

1

题型：单选题

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单选题 · 5 分

11. 设双曲线的右焦点为，方程的实数根分别为，若一个三角形的三边长为，则边长为的边所对的角是（）

A锐角

B直角

C钝角

D不能确定

正确答案

A

解析

设边长为的边所对的角是θ

由于离心率，且

所以，显然是一个大于0的数，所以我们只需要判断分子就可以了。

而

由于双曲线的离心率e>1，所以，即角恒为锐角。

考查方向

本题主要考查双曲线的几何性质，在解题过程中应用余弦定理判断角的范围

解题思路

在三角形中，利用余弦定理，判断边所对的角是什么角。在计算的过程中要注意使用双曲线的离心率和方程中的a、b、c的关系。

易错点

此题容易在双曲线的离心率与方程中a、b、c的关系上出错；余弦定理应用时出错；再者就是计算失误

知识点

双曲线的几何性质直线与双曲线的位置关系

1

题型：单选题

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单选题 · 5 分

A

B

C

D

正确答案

D

知识点

双曲线的几何性质

1

题型：填空题

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填空题 · 5 分

14．过点的直线l与双曲线的一条斜率为正值的渐近线平行，若双曲线C的右支上的点到直线l的距离恒大于b，则双曲线C的离心率的最大值是_________.

正确答案

3

解析

考查方向

本题主要考察了，双曲线的几何性质，直线方程的求解，平行线之间的距离，该题型在高考中经常出现，难度系数较低

解题思路

该题思路比较清晰，主要有以下几个步骤

易错点

本题易错点主要集中在，1、渐近线的表达，2、曲线上点的问题转化为两直线之间的距离问题

知识点

双曲线的几何性质

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正确答案

解析

考查方向

解题思路

易错点

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