双曲线的几何性质_章节学习

1

题型：单选题

|

单选题 · 5 分

12.已知抛物线与双曲线有共同的焦点，为坐标原点，在轴上方且在双曲线上，则的最小值为（）．

A

B

C

D

正确答案

A

解析

抛物线，焦点为，则双曲线的，则，即双曲线方程为，设，，则，

则，

因为，故当时取得最小值，最小值为，故选A．

考查方向

本题主要考查圆锥曲线的性质和向量的数量积等知识，意在考查考生构造函数解决问题的能力。

解题思路

1.先根据抛物线的焦点求出双曲线的方程；

2.设出P点到坐标后表示函数后求解其最小值即可。

易错点

1.抛物线的焦点求错导致双曲线的方程出错；

2.不会构造函数求解的最小值。

知识点

双曲线的几何性质直线、圆及圆锥曲线的交汇问题

1

题型：简答题

|

简答题 · 12 分

如图，曲线由上半椭圆和部分抛物线连接而成，的公共点为，其中的离心率为.

23.求的值；

24.过点的直线与分别交于（均异于点），若，求直线的方程.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

（1）;

解析

(Ⅰ)因为抛物线与轴交于点，所以

由因为，所以椭圆方程为

考查方向

本题主要考查圆锥曲线的性质和直线与圆锥曲线的位置关系等知识，意在考查考生的运算求解能力和综合解决问题的能力。

解题思路

先根据抛物线与x轴的交点求出b的值，后利用离心率求出a的值；

易错点

不知道抛物线与x轴的交点即为b的值；

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

（2）

解析

(Ⅱ)因为，若过点的直线斜率不存在时，不满足题意，所以直线斜率存在，

设直线的斜率为，则直线的方程为，设，联立，所以，所以联立所以，所以

由

化简得，所以，所以直线的方程为即

考查方向

本题主要考查圆锥曲线的性质和直线与圆锥曲线的位置关系等知识，意在考查考生的运算求解能力和综合解决问题的能力。

解题思路

设出直线的方程后分别与椭圆和抛物线的方程联立消元导出求出P,Q 的坐标后带入解方程即可。

易错点

不会转化，导致问题找不到突破口。

1

题型：填空题

|

填空题 · 6 分

9.双曲线的焦距是，渐近线方程是．

正确答案

,；

解析

试题分析：由双曲线，可求出c=，得到焦距和渐近线方程。

∵双曲线中，，∴c=，∴焦距，渐近线方程为.

考查方向

本题考查了双曲线的简单几何性质，属于基础题。

解题思路

根据双曲线的方程求出2c和渐近线方程。

易错点

注意双曲线中焦距为2c，双曲线的渐近线方程。

知识点

双曲线的几何性质

1

题型：单选题

|

单选题 · 5 分

5.过双曲线的右焦点且与x轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于A，B两点，则（）

A

B

C6

D

正确答案

D

解析

双曲线的右焦点为，过F与x轴垂直的直线为x=2,渐近线方程为，将x=2代入得，所以，故选D选项。

考查方向

本题主要考察圆锥曲线的性质等知识，意在考察考生对于基础知识的掌握程度。

解题思路

先根据双曲线方程求出基本量后，将带人渐近线方程，得，后得即可得到答案。

易错点

将双曲线中的基本量与椭圆中的混淆导致出错；将带人渐近线方程，求值出错；

知识点

双曲线的几何性质直线、圆及圆锥曲线的交汇问题

1

题型：单选题

|

单选题 · 5 分

9．等腰直角三角形ABC中，A＝90°，A，B在双曲线E的同一支上，且线段AB通过双曲线的一个焦点，C为双曲线E的另一个焦点，则该双曲线的离心率为

A

B

C

D

正确答案

B

解析

设，由等腰三角形和双曲线的定义，得，，，则，则，在中，，则，即，即，则该双曲线的离心率为；所以选B选项.

考查方向

本题主要考查了双曲线的定义，在近几年的各省高考题中出现的频率较高，常与解三角形、数列等知识交汇命题.

解题思路

1)利用等腰三角形和双曲线的定义得到相关边的长度；

2)利用勾股定理和离心率公式进行求解.

易错点

本题易在选择双曲线的定义出现错误，易忽视双曲线的定义的灵活运用.

知识点

双曲线的定义及标准方程双曲线的几何性质直线、圆及圆锥曲线的交汇问题

1

题型：单选题

|

单选题 · 5 分

6．经过点（2，1），且渐近线与圆相切的双曲线的标准方程为

A

B

C

D

正确答案

A

解析

设渐近线方程为则根据题意得圆心

∴渐近线为

∴设双曲线方程为

考查方向

本题主要考察了双曲线的定义和方程，考察了双曲线的几何意义，考察了直线和圆的位置关系，难度系数不高，

解题思路

1）设渐近线方程（无法确定焦点位置）利用直线和圆的位置关系求渐近线

2）利用渐近线写出含参双曲线方程，带入坐标直接得出结果

易错点

本题易在双曲线焦点的判断

知识点

双曲线的定义及标准方程双曲线的几何性质直线、圆及圆锥曲线的交汇问题

1

题型：简答题

|

简答题 · 4 分

14. 已知双曲线的左、右焦点分别是，过的直线交双曲线的右支于两点，若，且，则该双曲线的离心率为 ▲ .

正确答案

解析

设双曲线的离心率为e，在三角化简并整理得，

考查方向

考查直线与双曲线的位置关系，考查双曲线的离心率

解题思路

先由题意及双曲线的定义，可得，再利用焦半径公式，，由余弦定可求得a,b,c的等式关系，再从中求离心率

易错点

利用焦半径公式易出错，寻找a,b,c关系时找不到突破口

知识点

双曲线的几何性质直线、圆及圆锥曲线的交汇问题

1

题型：单选题

|

单选题 · 5 分

3.若双曲线的顶点和焦点分别为椭圆的焦点和顶点，则该双曲线方程为（）

A

B

C

D

正确答案

A

解析

由椭圆方程知焦点坐标为，顶点坐标为，所以双曲线的顶点坐标为，焦点坐标为，从而其,故双曲线方程为

因此B选项不正确，C选项不正确，D选项不正确，所以选A选项。

考查方向

本题主要考查了椭圆与双曲线的焦点与顶点坐标，考查考生对两种曲线基本量的理解和转化能力。

解题思路

根据已知椭圆方程写出其焦点和顶点坐标，从而知双曲线的顶点和焦点坐标，由此确定a,b,c的值最后给出双曲线的方程。因此B选项不正确，C选项不正确，D选项不正确，所以选A选项。

易错点

易混淆椭圆与双曲线中a,b,c之间的关系以及a,b,c在两种曲线中所表示的意义。

知识点

椭圆的几何性质双曲线的几何性质

1

题型：单选题

|

单选题 · 5 分

6．过双曲线=1（a>0，b>0）的右焦点与对称轴垂直的直线与渐近线相交于A,B两点，若△OAB的面积为，则双曲线的离心率为( )

A

B

C

D

正确答案

D

解析

由题意，得代入，得交点，则，整理，得，故A选项不正确，B选项不正确，C选项不正确，所以选D选项。

考查方向

本题主要考查了双曲线的性质，考查考生的作图及应用知识的能力。

解题思路

根据题意求出A,B两点的坐标，由△OAB的面积为得出

故A选项不正确，B选项不正确，C选项不正确，所以选D选项。

易错点

对△OAB的面积的转化较繁琐而出错。

知识点

双曲线的几何性质直线、圆及圆锥曲线的交汇问题

1

题型：单选题

|

单选题 · 5 分

10．双曲线的渐近线与抛物线相切，则该双曲线的离心率为（）

A

B2

C

D

正确答案

C

解析

由题意可知，双曲线的一个渐近线方程为：，代入抛物线整理可得，因为渐近线与抛物线相切，所以，所以，所以

考查方向

双曲线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题

解题思路

先求出渐近线方程，代入抛物线方程，从而推出a和c的关系。

易错点

计算能力差

知识点

双曲线的几何性质直线、圆及圆锥曲线的交汇问题

热门试卷

正确答案

解析

考查方向

解题思路

易错点

知识点

正确答案

解析

考查方向

解题思路

易错点

正确答案

解析

考查方向

解题思路

易错点

正确答案

解析

考查方向

解题思路

易错点

知识点

正确答案

解析

考查方向

解题思路

易错点

知识点

正确答案

解析

考查方向

解题思路

易错点

知识点

正确答案

解析

考查方向

解题思路

易错点

知识点

正确答案

解析

考查方向

解题思路

易错点

知识点

正确答案

解析

考查方向

解题思路

易错点

知识点

正确答案

解析

考查方向

解题思路

易错点

知识点

正确答案

解析

考查方向

解题思路

易错点

知识点