- 双曲线的几何性质
- 共220题
12.已知抛物线与双曲线
有共同的焦点
,
为坐标原点,
在
轴上方且在双曲线上,则
的最小值为( ).
正确答案
解析
抛物线,焦点
为
,则双曲线
的
,则
,即双曲线方程为
,设
,
,则
,
则,
因为,故当
时取得最小值,最小值为
,故选A.
考查方向
解题思路
1.先根据抛物线的焦点求出双曲线的方程;
2.设出P点到坐标后表示函数后求解其最小值即可。
易错点
1.抛物线的焦点求错导致双曲线的方程出错;
2.不会构造函数求解的最小值。
知识点
如图,曲线由上半椭圆
和部分抛物线
连接而成,
的公共点为
,其中
的离心率为
.
23.求的值;
24.过点的直线
与
分别交于
(均异于点
),若
,求直线
的方程.
正确答案
(1);
解析
(Ⅰ)因为抛物线与
轴交于点
,所以
由因为,所以椭圆方程为
考查方向
解题思路
先根据抛物线与x轴的交点求出b的值,后利用离心率求出a的值;
易错点
不知道抛物线与x轴的交点即为b的值;
正确答案
(2)
解析
(Ⅱ)因为,若过点
的直线
斜率不存在时,不满足题意,所以直线
斜率存在,
设直线的斜率为
,则直线
的方程为
,设
,联立
,所以
,所以
联立
所以
,所以
由
化简得,所以
,所以直线
的方程为
即
考查方向
解题思路
设出直线的方程后分别与椭圆和抛物线的方程联立消元导出求出P,Q 的坐标后带入
解方程即可。
易错点
不会转化, 导致问题找不到突破口。
9.双曲线的焦距是 ,渐近线方程是 .
正确答案
,
;
解析
试题分析:由双曲线,可求出c=
,得到焦距和渐近线方程。
∵双曲线中,
,∴c=
,∴焦距
,渐近线方程为
.
考查方向
解题思路
根据双曲线的方程求出2c和渐近线方程。
易错点
注意双曲线中焦距为2c,双曲线的渐近线方程。
知识点
5.过双曲线的右焦点且与x轴垂直的直线,交该双曲线的两条渐近线于A,B两点,则
( )
正确答案
解析
双曲线的右焦点为,过F与x轴垂直的直线为x=2,渐近线方程为
,将x=2代入
得
,所以
,故选D选项。
考查方向
解题思路
先根据双曲线方程求出基本量后,将带人渐近线方程,得
,后得
即可得到答案。
易错点
将双曲线中的基本量与椭圆中的混淆导致出错;将带人渐近线方程,求值出错;
知识点
9. 等腰直角三角形ABC中,A=90°,A,B在双曲线E的同一支上,且线段AB通过双曲线的一个焦点,C为双曲线E的另一个焦点,则该双曲线的离心率为
正确答案
解析
设,由等腰三角形和双曲线的定义,得
,
,
,则
,则
,在
中,
,则
,即
,即
,则该双曲线的离心率为
;所以选B选项.
考查方向
解题思路
1)利用等腰三角形和双曲线的定义得到相关边的长度;
2)利用勾股定理和离心率公式进行求解.
易错点
本题易在选择双曲线的定义出现错误,易忽视双曲线的定义的灵活运用.
知识点
6.经过点(2,1),且渐近线与圆相切的双曲线的标准方程为
正确答案
解析
设渐近线方程为则根据题意得圆心
∴渐近线为
∴设双曲线方程为
考查方向
解题思路
1)设渐近线方程(无法确定焦点位置)利用直线和圆的位置关系求渐近线
2)利用渐近线写出含参双曲线方程,带入坐标直接得出结果
易错点
本题易在双曲线焦点的判断
知识点
14. 已知双曲线的左、右焦点分别是
,过
的直线交双曲线的右支于
两点,若
,且
,则该双曲线的离心率为 ▲ .
正确答案
解析
设双曲线的离心率为e,在三角
化简并整理得,
考查方向
解题思路
先由题意及双曲线的定义,可得,再利用焦半径公式,
,由余弦定可求得a,b,c的等式关系,再从中求离心率
易错点
利用焦半径公式易出错,寻找a,b,c关系时找不到突破口
知识点
3.若双曲线的顶点和焦点分别为椭圆的焦点和顶点,则该双曲线方程为( )
正确答案
解析
由椭圆方程知焦点坐标为
,顶点坐标为
,所以双曲线的顶点坐标为
,焦点坐标为
,从而其
,故双曲线方程为
因此B选项不正确,C选项不正确,D选项不正确,所以选A选项。
考查方向
解题思路
根据已知椭圆方程写出其焦点和顶点坐标,从而知双曲线的顶点和焦点坐标,由此确定a,b,c的值最后给出双曲线的方程。因此B选项不正确,C选项不正确,D选项不正确,所以选A选项。
易错点
易混淆椭圆与双曲线中a,b,c之间的关系以及a,b,c在两种曲线中所表示的意义。
知识点
6.过双曲线=1(a>0,b>0)的右焦点与对称轴垂直的直线与渐近线相交于A,B两 点,若△OAB的面积为
,则双曲线的离心率为( )
正确答案
解析
由题意,得代入
,得交点
,则
,整理,得
,故A选项不正确,B选项不正确,C选项不正确,所以选D选项。
考查方向
解题思路
根据题意求出A,B两点的坐标,由△OAB的面积为得出
故A选项不正确,B选项不正确,C选项不正确,所以选D选项。
易错点
对△OAB的面积的转化较繁琐而出错。
知识点
10.双曲线的渐近线与抛物线
相切,则该双曲线的离心率为( )
正确答案
解析
由题意可知,双曲线的一个渐近线方程为:,代入抛物线整理可得
,因为渐近线与抛物线相切,所以
,所以
,所以
考查方向
解题思路
先求出渐近线方程,代入抛物线方程,从而推出a和c的关系。
易错点
计算能力差
知识点
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