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题型: 单选题
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单选题 · 5 分

12.已知抛物线与双曲线有共同的焦点为坐标原点, 轴上方且在双曲线上,则的最小值为(    ).

A

B

C

D

正确答案

A

解析

抛物线,焦点,则双曲线,则,即双曲线方程为,设,则

因为,故当时取得最小值,最小值为,故选A.

考查方向

本题主要考查圆锥曲线的性质和向量的数量积等知识,意在考查考生构造函数解决问题的能力。

解题思路

1.先根据抛物线的焦点求出双曲线的方程;

2.设出P点到坐标后表示函数后求解其最小值即可。

易错点

1.抛物线的焦点求错导致双曲线的方程出错;

2.不会构造函数求解的最小值。

知识点

双曲线的几何性质直线、圆及圆锥曲线的交汇问题
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题型:简答题
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简答题 · 12 分

如图,曲线由上半椭圆和部分抛物线 连接而成,的公共点为,其中的离心率为.

23.求的值;

24.过点的直线分别交于(均异于点),若,求直线的方程.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

(1);

解析

(Ⅰ)因为抛物线轴交于点,所以

由因为,所以椭圆方程为

考查方向

本题主要考查圆锥曲线的性质和直线与圆锥曲线的位置关系等知识,意在考查考生的运算求解能力和综合解决问题的能力。

解题思路

先根据抛物线与x轴的交点求出b的值,后利用离心率求出a的值;

易错点

不知道抛物线与x轴的交点即为b的值;

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

(2)

解析

(Ⅱ)因为,若过点的直线斜率不存在时,不满足题意,所以直线斜率存在,

设直线的斜率为,则直线的方程为,设,联立,所以,所以 联立所以,所以

化简得,所以,所以直线的方程为

考查方向

本题主要考查圆锥曲线的性质和直线与圆锥曲线的位置关系等知识,意在考查考生的运算求解能力和综合解决问题的能力。

解题思路

设出直线的方程后分别与椭圆和抛物线的方程联立消元导出求出P,Q 的坐标后带入解方程即可。

易错点

不会转化 导致问题找不到突破口。

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题型:填空题
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填空题 · 6 分

9.双曲线的焦距是      ,渐近线方程是          

正确答案

,

解析

试题分析:由双曲线,可求出c=,得到焦距和渐近线方程。

∵双曲线中,,∴c=,∴焦距,渐近线方程为.

考查方向

本题考查了双曲线的简单几何性质,属于基础题。

解题思路

根据双曲线的方程求出2c和渐近线方程。

易错点

注意双曲线中焦距为2c,双曲线的渐近线方程。

知识点

双曲线的几何性质
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题型: 单选题
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单选题 · 5 分

5.过双曲线的右焦点且与x轴垂直的直线,交该双曲线的两条渐近线于A,B两点,则(        )

A

B

C6

D

正确答案

D

解析

双曲线的右焦点为,过F与x轴垂直的直线为x=2,渐近线方程为,将x=2代入,所以,故选D选项。

考查方向

本题主要考察圆锥曲线的性质等知识,意在考察考生对于基础知识的掌握程度。

解题思路

先根据双曲线方程求出基本量后,将带人渐近线方程,得,后得 即可得到答案。

易错点

将双曲线中的基本量与椭圆中的混淆导致出错;将带人渐近线方程,求值出错;

知识点

双曲线的几何性质直线、圆及圆锥曲线的交汇问题
1
题型: 单选题
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单选题 · 5 分

9. 等腰直角三角形ABC中,A=90°,AB在双曲线E的同一支上,且线段AB通过双曲线的一个焦点,C为双曲线E的另一个焦点,则该双曲线的离心率为

A

B

C

D

正确答案

B

解析

,由等腰三角形和双曲线的定义,得,则,则,在中,,则,即,即,则该双曲线的离心率为;所以选B选项.

考查方向

本题主要考查了双曲线的定义,在近几年的各省高考题中出现的频率较高,常与解三角形、数列等知识交汇命题.

解题思路

1)利用等腰三角形和双曲线的定义得到相关边的长度;

2)利用勾股定理和离心率公式进行求解.

易错点

本题易在选择双曲线的定义出现错误,易忽视双曲线的定义的灵活运用.

知识点

双曲线的定义及标准方程双曲线的几何性质直线、圆及圆锥曲线的交汇问题
1
题型: 单选题
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单选题 · 5 分

6.经过点(2,1),且渐近线与圆相切的双曲线的标准方程为

A

B

C

D

正确答案

A

解析

设渐近线方程为则根据题意得圆心

∴渐近线为

∴设双曲线方程为

考查方向

本题主要考察了双曲线的定义和方程,考察了双曲线的几何意义,考察了直线和圆的位置关系,难度系数不高,

解题思路

1)设渐近线方程(无法确定焦点位置)利用直线和圆的位置关系求渐近线

2)利用渐近线写出含参双曲线方程,带入坐标直接得出结果

易错点

本题易在双曲线焦点的判断

知识点

双曲线的定义及标准方程双曲线的几何性质直线、圆及圆锥曲线的交汇问题
1
题型:简答题
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简答题 · 4 分

14. 已知双曲线的左、右焦点分别是,过的直线交双曲线的右支于两点,若,且,则该双曲线的离心率为  ▲  .

正确答案

解析

设双曲线的离心率为e,在三角 化简并整理得,

考查方向

考查直线与双曲线的位置关系,考查双曲线的离心率

解题思路

先由题意及双曲线的定义,可得,再利用焦半径公式,,由余弦定可求得a,b,c的等式关系,再从中求离心率

易错点

利用焦半径公式易出错,寻找a,b,c关系时找不到突破口

知识点

双曲线的几何性质直线、圆及圆锥曲线的交汇问题
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题型: 单选题
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单选题 · 5 分

3.若双曲线的顶点和焦点分别为椭圆的焦点和顶点,则该双曲线方程为( )

A

B

C

D

正确答案

A

解析

由椭圆方程知焦点坐标为,顶点坐标为,所以双曲线的顶点坐标为,焦点坐标为,从而其,故双曲线方程为

因此B选项不正确,C选项不正确,D选项不正确,所以选A选项。

考查方向

本题主要考查了椭圆与双曲线的焦点与顶点坐标,考查考生对两种曲线基本量的理解和转化能力。

解题思路

根据已知椭圆方程写出其焦点和顶点坐标,从而知双曲线的顶点和焦点坐标,由此确定a,b,c的值最后给出双曲线的方程。因此B选项不正确,C选项不正确,D选项不正确,所以选A选项。

易错点

易混淆椭圆与双曲线中a,b,c之间的关系以及a,b,c在两种曲线中所表示的意义。

知识点

椭圆的几何性质双曲线的几何性质
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题型: 单选题
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单选题 · 5 分

6.过双曲线=1(a>0,b>0)的右焦点与对称轴垂直的直线与渐近线相交于A,B两  点,若△OAB的面积为,则双曲线的离心率为(    )

A

B

C

D

正确答案

D

解析

由题意,得代入,得交点,则,整理,得,故A选项不正确,B选项不正确,C选项不正确,所以选D选项。

考查方向

本题主要考查了双曲线的性质,考查考生的作图及应用知识的能力。

解题思路

根据题意求出A,B两点的坐标,由△OAB的面积为得出

故A选项不正确,B选项不正确,C选项不正确,所以选D选项。

易错点

对△OAB的面积的转化较繁琐而出错。

知识点

双曲线的几何性质直线、圆及圆锥曲线的交汇问题
1
题型: 单选题
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单选题 · 5 分

10.双曲线的渐近线与抛物线相切,则该双曲线的离心率为(   )

A

B2

C

D

正确答案

C

解析

由题意可知,双曲线的一个渐近线方程为:,代入抛物线整理可得,因为渐近线与抛物线相切,所以,所以,所以

考查方向

双曲线的简单性质;直线与圆锥曲线的综合问题

解题思路

先求出渐近线方程,代入抛物线方程,从而推出a和c的关系。

易错点

计算能力差

知识点

双曲线的几何性质直线、圆及圆锥曲线的交汇问题
百度题库 > 高考 > 理科数学 > 双曲线的几何性质

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