双曲线的几何性质
共220题

· 双曲线的几何性质

双曲线的几何性质
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题型：填空题

填空题 · 5 分

设中心在原点的双曲线与椭圆+y2=1有公共的焦点，且它们的离心率互为倒数，则该双曲线的方程是　　。

正确答案

2x2﹣2y2=1

解析

解：椭圆+y2=1中c=1

∵中心在原点的双曲线与椭圆+y2=1有公共的焦点

∴双曲线中c=1，

∵椭圆+y2=1的离心率为=，椭圆与双曲线的离心率互为倒数。

∴双曲线的离心率为，

∴双曲线中a=，b2=c2﹣a2=，b=

∴双曲线的方程为2x2﹣2y2=1

知识点

双曲线的几何性质

题型：填空题

填空题 · 5 分

过双曲线的右焦点，且平行于经过一、三象限的渐近线的直线方程是　　。

正确答案

4x﹣3y﹣20=0

解析

∵双曲线的方程为

∴a2=9，b2=16，得c==5

因此，该双曲线右焦点的坐标为F（5，0）

∵双曲线的渐近线方程为y=±x

∴双曲线经过一、三象限的渐近线斜率为k=

∴经过双曲线右焦点，且平行于经过一、三象限的渐近线的直线方程是y=（x﹣5）

化为一般式，得4x﹣3y﹣20=0。

故答案为：4x﹣3y﹣20=0

知识点

双曲线的几何性质

题型：简答题

简答题 · 14 分

椭圆的一个焦点是F(1,0),O为坐标原点

（1）已知椭圆短轴的两个三等分点与一个焦点构成正三角形，求推圆方程；

（2）设过F的直线L交椭圆于A,B两点，若直线L绕点F任意转动，恒有<,求a的取值范围。

正确答案

（1）（2）

解析

解析：

（2）①当L的斜率不存在时其方程为x=1

从而由<得

②若L的斜率存在，设其方程为y=k(x-1)

则由<得

，从而化简得：

综上得：a的取值范围为。

（说明：本题也可由余弦定理及向量知识将⑵转化为再去做）

知识点

双曲线的几何性质

题型：简答题

简答题 · 12 分

如图所示，平面，底面为菱形,为的中点。

（1）求证：平面。

（2）求二面角的正切值。

正确答案

见解析。

解析

（1）

（2）

由（1）可知，BO⊥平面PAC，故在平面PAC内，作OM⊥A，

连结BM（如图），则∠BMO为二面角的平

面角，在中，易知

即二面角的正切值为

知识点

正弦函数的定义域和值域双曲线的几何性质

题型：简答题

简答题 · 12 分

已知定义在实数集上的函数 N，其导函数记为，且满足，其中、、为常数，.设函数R且.

（1）求实数的值；

（2）若函数无极值点，其导函数有零点，求m的值；

（2）求函数在的图象上任一点处的切线斜率k的最大值。

正确答案

（1）（2）

（3）

解析

（1）因为，

所以，整理得：

又，所以.…………………………………………3分

（2）因为，

所以.…………………………4分

由条件.……………………5分

因为有零点而无极值点,表明该零点左右同号，又，所以二次方程有相同实根，即

解得.…………………………………………8分

（3）由（1）知，，因为，所以[12，+∞]，所以①当或时，恒成立，所以在（0，]上递增，

故当时，k取得最大值，且最大值为，…………10分

②当时，由得，而.

若，则，k单调递增；

若，则，k单调递减。

故当时，k取得最大值，

且最大值等于.…………………13分

综上，…………………………14分

知识点

双曲线的几何性质

继续学习棒棒哒，已是最后一个知识点

已完结

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