热门试卷

（1）解：∵点在抛物线上，   ∴.

解法1：（2）由（1）得抛物线的方程为.

设点的坐标分别为，依题意，，

由消去得，

解得.

∴.

直线的斜率，

故直线的方程为.

令，得，∴点的坐标为.

同理可得点的坐标为.

∴

.

∵，     ∴.

由，得，

解得, 或,

∴直线的方程为，或.

（3）设线段的中点坐标为，

则

.

而，

∴以线段为直径的圆的方程为.

展开得.

令，得，解得或.

∴以线段为直径的圆恒过两个定点.

解法2：（2）由（1）得抛物线的方程为.

设直线的方程为，点的坐标为，

由解得

∴点的坐标为.

由消去，得，

即，解得或.

∴，.

∴点的坐标为.

同理，设直线的方程为，

则点的坐标为，点的坐标为.

∵点在直线上，

∴.

∴.

又，得，

化简得.

，

∵，

∴.

∴.

由，

得，

解得.

∴直线的方程为，或.

（3）设点是以线段为直径的圆上任意一点，

则，

得，

整理得，.

令，得，解得或.

∴ 以线段为直径的圆恒过两个定点.

（1）方法1：设动圆圆心为，依题意得，，

整理，得，所以轨迹的方程为。

方法2：设动圆圆心为，依题意得点到定点的距离和点到定直线的距离相等，

根据抛物线的定义可知，动点的轨迹是抛物线。

且其中定点为焦点，定直线为准线。

所以动圆圆心的轨迹的方程为

（2）由（1）得，即，则。

设点，由导数的几何意义知，直线的斜率为。

由题意知点，设点，，

则，

即。

因为，，

由于，即。

所以，

（3）方法1：由点到的距离等于，可知。

不妨设点在上方（如图），即，直线的方程为：。

由

解得点的坐标为，

所以。

由（2）知，同理可得。

所以△的面积，

解得，

当时，点的坐标为，，

直线的方程为，即，

当时，点的坐标为，，

直线的方程为，即，

方法2：由点到的距离等于，可知。

由（2）知，所以，即。

由（2）知，。

所以。

即，        ①

由（2）知，           ②

不妨设点在上方（如图），即，由①、②解得

因为，

同理，

以下同方法1。

（1）∵△AF1F2的周长为，

∴即. ……………………（1分）

又解得………………（3分）

∴椭圆C的方程为………………………………（4分）

（2）由题意知，直线l的斜率必存在，

设其方程为

由

得…………………………………（6分）

则……………………………………（7分）

由，得

∴∴.……………………………………（8分）

设点R的坐标为（），由，

得

∴

解得………………（10分）

而

∴…………………………………………………（13分）

故点R在定直线上. ………………………………………………（14分）

（1）依据题意，可得点.

，

又，

.

所求动点的轨迹方程为.

（2）   若直线轴，则可求得，这与已知矛盾，因此满足题意的直线不平行于轴。

设直线的斜率为，则。

由 得。

设点，有 且恒成立（因点在椭圆内部）。

又，

于是，，即，

解得。

所以，所求直线

（3） 当直线轴时，，点到圆心的距离为1.即点在圆外，不满足题意.

满足题意的直线的斜率存在，设为，则.

设点，由（2）知，进一步可求得

依据题意，有，

，

即，解得.

所求圆的半径，

圆心为.

所求圆的方程为：

（1）依题意，得双曲线C的实半轴长为a=1，焦半距为c=2，

所以其虚半轴长，

又其焦点在x轴上，所以双曲线C的标准方程为.

（2）设A、B的坐标分别为、，则

两式相减，得，

因为M（2，1）为AB的中点，所以，

所以，即.

故AB所在直线l的方程为，即.

（3）由已知，得，即，

所以，当且仅当 三点共线时取等号.

因为，

所以，

故的最小值为.