热门试卷

解析：（1）不妨设=1，又，∴在△ABC中，

，∴，

则=，…………………………………1分

所以,又,∴,

且也为等腰三角形.……………………………………………3分

（法一）取AB中点Q，连接MQ、NQ，∴，

∵面，∴，∴，…………5分

所以AB⊥平面MNQ，

又MN平面MNQ

∴AB⊥MN…………………………………6分

（法二），则,以A为坐标原点，的方向为x轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系

可得，，,

,…………………………………4分

∴,

则，所以。…………6分

（2）同（1）法二建立空间直角坐标系，可知

，，面的法向量可取为，

…………………………………8分

设面的法向量为，，，

则即可取，………………10分

∴=，

故二面角的余弦值为。…………………12分

（1）∵PA⊥平面ABCD， BC平面ABCD，∴PA⊥BC，

又AB⊥BC，PA∩AB＝A，                 ∴BC⊥平面PAB，

∵BC平面PBC，                                     ∴平面PBC⊥平面PAB，…5分

（2）以A为原点，AB为x轴、AP为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系A—xyz。

则B(2，0，0)，C(2，1，0)，D(1，1，0)。

设P(0，0，a)（a＞0），

则＝(0，1，0)，＝(2，1，－a)，

＝(1，0，0)          ………………8分

设n1＝(x1，y1，z1)为面BPC的一个法向量，

则n1·＝n1·＝0，

即，

取x1＝a，y1＝0，z1＝2，得n1＝(a，0，2)。

同理，n2＝(0，a，1)为面DPC的一个法向量。    ……………………………10分

依题意，，

解得a2＝2，或a2＝-7（舍去），所以＝。     ……………………12分

（1）证明：当D是AB中点时。AC1//平面B1CD。

连接BC1，交B1C于E，连接DE。

因为三棱柱是直三棱柱，

所以侧面BB1C1C为矩形。DE为△ABC1的中位线。

所以DE//AC1

所以 AC1∥平面B1CD，     

（2） 由 ，得AC⊥BC，

以C为原点建立如图所示的空间直角坐标系C-xyz，

则B(6, 0, 0)，A (0, 8, 0)，A1(0, 8,8)，B1(6, 0, 8)。

设D(a, b, 0)（，）

因为 点D在线段AB上，且， 即。

所以

所以，，

平面BCD的法向量为。

设平面B1CD的法向量为，

由 ，， 得 ，

所以，，

设二面角的大小为， ，

所以二面角的余弦值为

（1）连接AB，在EA的延长线上取点F，如图①所示。

∵AE是⊙O1的切线，切点为A，

∴∠FAC＝∠ABC,.……………1分

∵∠FAC＝∠DAE，

∴∠ABC＝∠DAE,∵∠ABC是⊙O2内接四边形ABED的外角，

∴∠ABC＝∠ADE,……………2分

∴∠DAE＝∠ADE.………………3分

∴EA＝ED,∵,

∴.………………5分

（2）当点D与点A重合时，直线CA与⊙O2只有一个公共点，

所以直线CA与⊙O2相切，……………6分

如图②所示，由弦切角定理知：

∴AC与AE分别为⊙O1和⊙O2的直径，…………8分

∴由切割线定理知：EA2＝BE·CE，而CB＝2，BE＝6，CE=8

∴EA2＝6×8＝48，AE＝.故⊙O2的直径为.………………10分

（1） 取中点，连结，则.

以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，

则，，，，，

从而，，，

则，，因为与不共线，

所以平面.                                                                           (6分)

（2）假设这样的点存在，设，则，

由（1）可知，为平面的一个法向量，

由，可得平面的一个法向量.

令二面角的平面角满足       ,

，解得，因为，所以

满足点在棱上，因此所求的点存在，且的长为.   (12分)

（1）证明：在等腰梯形ABCD中，∵AD=DC=CB=AB，∴AD、BC为腰，取AB得中点H，连CH，易知，四边形ADCH为菱形，则CH=AH=BH,故△ACB为直角三角形，，

平面平面，且平面平面，平面，而平面，故。

（2）连结交于D,再连结EM、FM，易知四边形为菱形，∴DM⊥AC，注意到平面平面，故DM⊥平面，于是，即为直线DE与平面ACEF所成的角。

设AD=DC=BC=,则MD=，

依题意，     

在中，

∵=AM，四边形AMEF为平行四边形