直线方程和两条直线的位置关系_章节学习

1

题型：单选题

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单选题 · 5 分

设O为坐标原点，P是以F为焦点的抛物线上任意一点，M是线段PF上的点，且

=2,则直线OM的斜率的最大值为

A

B

C

D1

正确答案

C

知识点

直线的倾斜角与斜率抛物线的标准方程和几何性质抛物线焦点弦的性质

1

题型：填空题

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填空题 · 5 分

如图，AB是圆的直径，弦CD与AB相交于点E，BE=2AE=2，BD=ED，则线段CE的长为__________.

正确答案

知识点

直线的倾斜角与斜率

1

题型：简答题

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简答题 · 12 分

如图，为圆的直径，点、在圆上，，矩形所在平面和圆所在的平面互相垂直．已知,．

20.求证：平面平面；

21.设几何体、的体积分别为、，求的值.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

（1）见解析；

解析

试题分析：本题属立体几何证明与体积的计算问题，题目的难度是逐渐由易到难，（1）利用面面垂直的判定定理来证明；（2）将体积表示出来再计算其比值。

（Ⅰ）证明：如图.平面平面,,

平面平面=，

平面．

平面，，

又为圆的直径，，

平面．

平面，

平面平面． (6分)

【注】也可证明平面.

考查方向

本题考查了立体几何证明与体积的计算问题。

解题思路

本题考立体几何证明与体积的计算问题，解题步骤如下：（1）利用面面垂直的判定定理来证明；（2）将体积表示出来再计算其比值。

易错点

定理使用条件不全。

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

（2）。

解析

试题分析：本题属立体几何证明与体积的计算问题，题目的难度是逐渐由易到难，（1）利用面面垂直的判定定理来证明；（2）将体积表示出来再计算其比值。

（Ⅱ）几何体是四棱锥、是三棱锥，

过点作，交于．

平面平面，平面．

则，．

因此，． (12分)

考查方向

本题考查了立体几何证明与体积的计算问题。

解题思路

本题考立体几何证明与体积的计算问题，解题步骤如下：（1）利用面面垂直的判定定理来证明；（2）将体积表示出来再计算其比值。

易错点

定理使用条件不全。

1

题型：单选题

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单选题 · 5 分

10. 椭圆C: 的左、右顶点分别为, ,点P在C上且直线斜率的取值范围是,那么直线斜率的取值范围是　(　　)

A

B

C

D

正确答案

C

解析

由所以选C选项。

考查方向

本题主要考查了椭圆的性质，高考中常考求方程、离心率的值或范围、中点弦，切线方程、面积计算和函数的最值问题。

解题思路

由椭圆的性质（此性质由点参易证）易求；

易错点

本题易由于对椭圆的性不了解导致解题短路。

知识点

直线的倾斜角与斜率椭圆的几何性质

1

题型：简答题

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简答题 · 14 分

如图7，直线，抛物线，已知点在抛

物线上，且抛物线上的点到直线的距离的最小值为。

（1）求直线及抛物线的方程；

（2）过点的任一直线（不经过点）与抛物线交于、两点，直线与直线相交于点，记直线，，的斜率分别为，，，问：是否存在实数，使得？若存在，试求出的值；若不存在，请说明理由。

正确答案

见解析。

解析

（1）（法一）点在抛物线上，。

设与直线平行且与抛物线相切的直线方程为，

由得，

，

由，得，则直线方程为。

两直线、间的距离即为抛物线上的点到直线的最短距离，

有，解得或（舍去）。

直线的方程为，抛物线的方程为。

（法二）点在抛物线上，，抛物线的方程为。……2分

设为抛物线上的任意一点，点到直线的距离为，根据图象，有，，

，的最小值为，由，解得。

因此，直线的方程为，抛物线的方程为。

（2）直线的斜率存在，设直线的方程为，即，

由得，

设点、的坐标分别为、，则，，

，，

.

由得，，

，

。

因此，存在实数，使得成立，且。

知识点

直线的一般式方程抛物线的标准方程和几何性质圆锥曲线中的探索性问题直线、圆及圆锥曲线的交汇问题

1

题型：简答题

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简答题 · 16 分

已知椭圆的长轴长是焦距的两倍，其左、右焦点依次为、，抛物线的准线与轴交于，椭圆与抛物线的一个交点为.

（1）当时， ①求椭圆的方程；②直线过焦点，与抛物线交于两点，若弦长等于的周长，求直线的方程；

（2）是否存在实数，使得的边长为连续的自然数.

正确答案

（1）（2）

解析

（1）①设椭圆的实半轴长为a,短半轴长为b，半焦距为c,

当=1时，由题意得，a=2c=2,,

所以椭圆的方程为.

②依题意知直线的斜率存在，设，由得，

，由直线与抛物线有两个交点，可知.

设，由韦达定理得，

则=

因为的周长为，所以，

解得，从而可得直线的方程为

（2）假设存在满足条件的实数，由题意得，又设，设，对于抛物线M，有对于椭圆C，由得

由解得：，所以，从而，因此，的边长分别为、、，

当时，使得的边长为连续的自然数.

知识点

直线的一般式方程椭圆的定义及标准方程圆锥曲线中的探索性问题直线、圆及圆锥曲线的交汇问题

1

题型：填空题

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填空题 · 4 分

已知直线（其中为实数）过定点，点在函数的图像上，则连线的斜率的取值范围是 .

正确答案

:

解析

由直线，得,

令，，得，得；

利用斜率定义，得，

令，得，

利用一元二次函数图像，求出的取值范围为，

考查方向

本题主要考查了含参直线过定点问题，斜率的定义和函数的取值范围问题，也是常考题型

易错点

求直线过定点问题，求分式函数的取值范围容易出错，需要考虑范围

知识点

函数图象的应用直线的倾斜角与斜率恒过定点的直线

1

题型：简答题

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简答题 · 12 分

20.椭圆与的中心在原点，焦点分别在轴与轴上，它们有相同的离心率，并且的短轴为的长轴，与的四个焦点构成的四边形面积是.

（1）求椭圆与的方程；

（2）设是椭圆上非顶点的动点，与椭圆长轴两个顶点，的连线，分别与椭圆交于点，.

①求证：直线，斜率之积为常数；

②直线与直线的斜率之积是否为常数？若是，求出该值；若不是，说明理由.

正确答案

（1）；

（2）直线，斜率之积为常数；．

解析

试题分析：本题属于圆锥曲线中的基本问题，题目的难度是逐渐由易到难，

（1）直接按照步骤来求

（2）要注意对参数的讨论．

解：（1）依题意，

设：，

：，

由对称性，四个焦点构成的四边形为菱形，

且面积，

解得：，

所以椭圆：，：

（2）①设，

则，，，

所以：，

直线，斜率之积为常数②设，

则，，，

所以：，

同理：所以：，由，，

结合（1）有

考查方向

本题考查了椭圆的标准方程和直线与椭圆的位置关系，属于高考中的高频考点．

解题思路

本题考查圆锥曲线与直线的位置关系，解题步骤如下：

1、利用e及对称性求a,b。

2、联立直线与椭圆方程求解。

易错点

第二问中表示直线斜率时容易出错。

知识点

直线的倾斜角与斜率椭圆的定义及标准方程圆锥曲线的定点、定值问题

1

题型：单选题

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单选题 · 5 分

10．过双曲线的右焦点作一条直线，当直线斜率为1时，直线与双曲线左、右两支各有一个交点；当直线斜率为3时，直线与双曲线右支有两个不同的交点，则双曲线离心率的取值范围为（）

A

B

C

D

正确答案

C

解析

由题可知，1<b/a<3, 则e2=1+b2/a2∈(2,10),则e∈。A选项不正确，B选项不正确，D选项不正确，所以选C选项。

考查方向

本题主要考查直线与双曲线的位置关系

解题思路

1、表示直线方程；

2、利用双曲线的几何性质表示离心率e，即可得到结果。A选项不正确，B选项不正确，D选项不正确，所以选C选项。

易错点

本题易在表示直线方程时发生错误。

知识点

直线的倾斜角与斜率双曲线的几何性质

1

题型：简答题

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简答题 · 12 分

20.椭圆，作直线交椭圆于两点，为线段的中点，为坐标原点，设直线的斜率为，直线的斜率为，.

（1）求椭圆的离心率；

（2）设直线与轴交于点，且满足，当的面积最大时，求椭圆的方程．

正确答案

（1）；

（2）．

解析

试题分析：本题属于椭圆的几何性质、直线与椭圆的位置关系、基本不等式．等知识点的综合应用问题，属于拔高题，第二问不容易得分，解析如下：

（1）设，，代入椭圆C的方程有：

，、

两式相减：，

即，

又，

联立两个方程有，

解得：.

（2）由（1）知，得，

可设椭圆C的方程为：，

设直线l的方程为：，代入椭圆C的方程有

，

因为直线l与椭圆C相交，所以，

由韦达定理：，.

又，所以，

代入上述两式有：，

所以

，

当且仅当时，等号成立，此时，代入，有成立，

所以所求椭圆C的方程为：.

考查方向

本题考查了椭圆的几何性质、直线与椭圆的位置关系、基本不等式等知识点。

解题思路

（1）设，，并分别代入椭圆方程中，然后两式相减，利用直线斜率公式求得，从而求得离心率；

（2）设椭圆的方程为：，直线的方程为：，然后联立椭圆与直线的方程得到关于的二次方程，然后由，及利用韦达定理得出的表达式，从而利用基本不等式求得椭圆的方程．

易错点

知识点

直线的倾斜角与斜率椭圆的定义及标准方程椭圆的几何性质圆锥曲线中的范围、最值问题

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