- 利用导数求函数的极值
- 共167题
已知函数,
(其中
为常数)。
(1)如果函数和
有相同的极值点,求
的值;
(2)设,问是否存在
,使得
,若存在,请求出实数
的取值范围;若不存在,请说明理由。
(3)记函数,若函数
有5个不同的零点,求实数
的取值范围
正确答案
见解析。
解析
(1),则
,
令,得
或
,而
在
处有极大值,
∴或
;综上:
或
。
(2)假设存在,即存在,使得
,
当时,又
,故
,则存在
,使得
,
当
即
时,
得
,
;
当
即
时,
得
,……6分
无解;综上:
。
(3)据题意有有3个不同的实根,
有2个不同的实根,且这
5个实根两两不相等。
(ⅰ)有2个不同的实根,只需满足
;
(ⅱ)有3个不同的实根,
当
即
时,
在
处取得极大值,而
,不符合题意,舍;
当
即
时,不符合题意,舍;
当
即
时,
在
处取得极大值,
;所以
;
因为(ⅰ)(ⅱ)要同时满足,故;(注:
也对)
下证:这5个实根两两不相等,即证:不存在使得
和
同
时成立.
若存在使得
,
由,即
,得
,
当时,
,不符合,舍去;
当时,既有
①;
又由,即
②; 联立①②式,可得
;
而当时,
没有5个不
同的零点,故舍去,所以这5个实根两两不相等。
综上,当时,函数
有5个不同的零点。
知识点
已知函数,其中
。
(1)若,求函数
的定义域和极值;
(2)当时,试确定函数
的零点个数,并证明。
正确答案
见解析
解析
(1)解:函数的定义域为
,且
. ……………… 1分
. ……………… 3分
令,得
,
当变化时,
和
的变化情况如下:
……………… 4分
故的单调减区间为
,
;单调增区间为
。
所以当时,函数
有极小值
. ……………… 5分
(2)解:结论:函数存在两个零点。
证明过程如下:
由题意,函数,
因为 ,
所以函数的定义域为
. ……………… 6分
求导,得, ………………7分
令,得
,
,
当变化时,
和
的变化情况如下:
故函数的单调减区间为
;单调增区间为
,
。
当时,函数
有极大值
;当
时,函数
有极小值
. ……………… 9分
因为函数在
单调递增,且
,
所以对于任意,
. ……………… 10分
因为函数在
单调递减,且
,
所以对于任意,
. ……………… 11分
因为函数在
单调递增,且
,
,
所以函数在
上仅存在一个
,使得函数
, ………… 12分
故函数存在两个零点(即
和
). ……………… 13分
知识点
函数的极小值是 。
正确答案
7
解析
略
知识点
已知函数.(
)。
(1)当时,求函数
的极值;
(2)若对,有
成立,求实数
的取
值范围。
正确答案
见解析。
解析
(1)当时,
=
,
令,解得
.
当时,得
或
;
当时,得
.
当变化时,
,
的变化情况如下表:
∴当时,函数
有极大值,
当时函数
有极小值,
(2)∵,∴对
,
成立,[来源:学科网ZXXK]
即对
成立,---7分
①当时,有
,
即,对
恒成立,
∵,当且仅当
时等号成立,
∴-
②当时,有
,
即,对
恒成立,
∵,当且仅当
时等号成立,
∴
知识点
已知函数,
R .
(1)若函数在其定义域上为增函数,求
的取值范围;
(2)当时,函数
在区间
N
上存在极值,求
的最大
值。
( 参考数值: 自然对数的底数≈
)
正确答案
见解析。
解析
(1)解法1:函数的定义域为
,
∵, ∴
.
∵ 函数在
上单调递增,
∴ , 即
对
都成立.
∴ 对
都成立.
当时,
, 当且仅当
, 即
时,取等号。
∴, 即
.
∴的取值范围为
.
解法2:函数的定义域为
,
∵, ∴
.
方程的判别式
.
① 当, 即
时,
,
此时, 对
都成立,
故函数在定义域
上是增函数.
② 当, 即
或
时, 要使函数
在定义域
上为增函数, 只需
对
都成立。
设, 则
得
.
故.
综合①②得的取值范围为
.
(2)解:当时,
.
.
∵ 函数在
N
上存在极值,
∴ 方程在
N
上有解,
即方程在
N
上有解.
令, 由于
, 则
,
∴函数在
上单调递减.
∵,
,
∴函数的零点
.
∵方程在
N
上有解,
N
∴.
∵N
,
∴的最大值为
.
知识点
扫码查看完整答案与解析