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题型: 单选题
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单选题 · 5 分

已知为自然对数的底数,设函数,则

A的极小值点

B的极小值点

C的极大值点

D的极大值点

正确答案

B

解析

知识点

利用导数求函数的极值
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题型:简答题
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简答题 · 14 分

已知函数图像上的点处的切线方程为

(1)若函数时有极值,求的表达式

(2)函数在区间上单调递增,求实数的取值范围。

正确答案

见解析。

解析

解:,    --

∵函数处的切线斜率为-3,∴,即

(1)函数时有极值,所以

解得,-

所以

(2)因为函数在区间上单调递增,所以导函数

在区间上的值恒大于或等于零,

,所以实数的取值范围为

知识点

导数的几何意义利用导数研究函数的单调性利用导数求函数的极值
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题型:简答题
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简答题 · 14 分

设函数.

(1)若函数在区间(-2,0)内恰有两个零点,求a的取值范围;

(2)当a=1时,求函数在区间[t,t+3]上的最大值.

正确答案

见解析。

解析

(1)∵

,解得

当x变化时,的变化情况如下表:

故函数的单调递增区间为(-∞,-1),(a,+∞);单调递减区间为(-1,a);

因此在区间(-2,-1)内单调递增,在区间(-1,0)内单调递减,要使函数在区间内恰有两个零点,当且仅当

解得, 所以a的取值范围是(0,).

(2)当a=1时,. 由(1)可知,函数的单调递增区间为(-∞,-1),(1,+∞);单调递减区间为(-1,1);.

①当t+3<-1,即t<-4时,

因为在区间[t,t+3]上单调递增,所以在区间[t,t+3]上的最大值为

②当,即时,

因为在区间上单调递增,在区间[-1,1]上单调递减,在区间[1,2]上单调递增,且,所以在区间上的最大值为.

,即时,有[t,t+3] ,-1[t,t+3],所以上的最大值为

③当t+3>2,即t>-1时,

由②得在区间上的最大值为. 因为在区间(1,+∞)上单调递增,所以,故上的最大值为.

综上所述,当a=1时,

在[t,t+3]上的最大值.

知识点

利用导数研究函数的单调性利用导数求函数的极值利用导数求函数的最值利用导数求参数的取值范围
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题型:简答题
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简答题 · 12 分

正确答案

见解析。

解析

结合①可知

所以,x1=是极小值点,x2=是极大值点。

(2)若f(x)为R上的单调函数,则f′(x)在R上不变号,结合①与条件a>0,知ax2-2ax+1≥0在R上恒成立,因此Δ=4a2-4a=4a(a-1)≤0,由此并结合a>0,知0<a≤1。

知识点

利用导数研究函数的单调性利用导数求函数的极值
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题型:简答题
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简答题 · 12 分

已知函数

(1)若a=1,判断函数是否存在极值,若存在,求出极值;若不存在,说明理由;

(2)求函数的单调区间;

(3)设函数,若至少存在一个,使得成立,求实数a的取值范围。

正确答案

见解析。

解析

(1)当时,,其定义域为(0,+).

因为

所以在(0,+)上单调递增,

所以函数不存在极值.

(2)函数的定义域为

时,

因为在(0,+)上恒成立,所以在(0,+)上单调递减.

时,

时,方程与方程有相同的实根.

①当时,>0,可得,且

因为时,,所以上单调递增;

因为时,,所以上单调递减;

因为时,,所以上单调递增;

②当时,,所以在(0,+)上恒成立,故在(0,+)上单调递增.                                                              (9分)

综上,当时,的单调减区间为(0,+);当时,的单调增区间为;单调减区间为;当时,的单调增区间为(0,+).

(3)由存在一个,使得成立,

,即.

,等价于“当 时,”.

因为,且当时,

所以上单调递增,

,因此.

知识点

利用导数研究函数的单调性利用导数求函数的极值利用导数求参数的取值范围
下一知识点 : 利用导数求函数的最值
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