- 利用导数求函数的极值
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已知为自然对数的底数,设函数,则
正确答案
解析
略
知识点
已知函数图像上的点处的切线方程为。
(1)若函数在时有极值,求的表达式
(2)函数在区间上单调递增,求实数的取值范围。
正确答案
见解析。
解析
解:, --
∵函数在处的切线斜率为-3,∴,即
又得。
(1)函数在时有极值,所以,
解得,-
所以,
(2)因为函数在区间上单调递增,所以导函数
在区间上的值恒大于或等于零,
则得,所以实数的取值范围为
知识点
设函数.
(1)若函数在区间(-2,0)内恰有两个零点,求a的取值范围;
(2)当a=1时,求函数在区间[t,t+3]上的最大值.
正确答案
见解析。
解析
(1)∵
∴,
令,解得
当x变化时,,的变化情况如下表:
故函数的单调递增区间为(-∞,-1),(a,+∞);单调递减区间为(-1,a);
因此在区间(-2,-1)内单调递增,在区间(-1,0)内单调递减,要使函数在区间内恰有两个零点,当且仅当,
解得, 所以a的取值范围是(0,).
(2)当a=1时,. 由(1)可知,函数的单调递增区间为(-∞,-1),(1,+∞);单调递减区间为(-1,1);.
①当t+3<-1,即t<-4时,
因为在区间[t,t+3]上单调递增,所以在区间[t,t+3]上的最大值为;
②当,即时,
因为在区间上单调递增,在区间[-1,1]上单调递减,在区间[1,2]上单调递增,且,所以在区间上的最大值为.
由,即时,有[t,t+3] ,-1[t,t+3],所以在上的最大值为;
③当t+3>2,即t>-1时,
由②得在区间上的最大值为. 因为在区间(1,+∞)上单调递增,所以,故在上的最大值为.
综上所述,当a=1时,
在[t,t+3]上的最大值.
知识点
正确答案
见解析。
解析
结合①可知
所以,x1=是极小值点,x2=是极大值点。
(2)若f(x)为R上的单调函数,则f′(x)在R上不变号,结合①与条件a>0,知ax2-2ax+1≥0在R上恒成立,因此Δ=4a2-4a=4a(a-1)≤0,由此并结合a>0,知0<a≤1。
知识点
已知函数,。
(1)若a=1,判断函数是否存在极值,若存在,求出极值;若不存在,说明理由;
(2)求函数的单调区间;
(3)设函数,若至少存在一个,使得成立,求实数a的取值范围。
正确答案
见解析。
解析
(1)当时,,其定义域为(0,+).
因为,
所以在(0,+)上单调递增,
所以函数不存在极值.
(2)函数的定义域为。
当时,
因为在(0,+)上恒成立,所以在(0,+)上单调递减.
当时,
当时,方程与方程有相同的实根.
①当时,>0,可得,,且
因为时,,所以在上单调递增;
因为时,,所以在上单调递减;
因为时,,所以在上单调递增;
②当时,,所以在(0,+)上恒成立,故在(0,+)上单调递增. (9分)
综上,当时,的单调减区间为(0,+);当时,的单调增区间为与;单调减区间为;当时,的单调增区间为(0,+).
(3)由存在一个,使得成立,
得,即.
令,等价于“当 时,”.
因为,且当时,,
所以在上单调递增,
故,因此.
知识点
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