利用导数求函数的极值
共167题

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题型：简答题

简答题 · 14 分

21．设函数，其中．

（Ⅰ）当时，讨论函数的单调性；

（Ⅱ）若函数仅在处有极值，求的取值范围；

（Ⅲ）若对于任意的，不等式在上恒成立，求的取值范围．

正确答案

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知识点

利用导数研究函数的单调性利用导数求函数的极值利用导数求函数的最值利用导数求参数的取值范围

题型：简答题

简答题 · 14 分

22．若存在实常数和，使得函数和对其定义域上的任意实数分别满足：和，则称直线为和的“隔离直线”．已知，（其中为自然对数的底数）。

（1）求的极值；

（2）函数和是否存在隔离直线？若存在，求出此隔离直线方程；若不存在，请说明理由。

正确答案

（1）．

当时，，此时函数递减；

当时，，此时函数递增；

∴当时，取极小值，其极小值为

（2）由（1）可知当时，（当且当时取等号）．若存在和的隔离直线，则存在实常数和，使得和恒成立，由（1）可知函数和的图象在处有公共点，

令，则且

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知识点

函数恒成立、存在、无解问题利用导数研究函数的单调性利用导数求函数的极值

题型：简答题

简答题 · 12 分

19．已知函数，当时，有极大值；

（1）求的值；

（2）求函数的极小值。

正确答案

解：（1）

当时，，

即

（2），

令，得

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知识点

利用导数研究函数的单调性利用导数求函数的极值

题型：简答题

简答题 · 13 分

18．已知函数（x∈R），其中a∈R．

（I）当a=1时，求曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程；

（II）当a≠0时，求函数f（x）的单调区间与极值。

正确答案

（I）解：当a=1时，．

又．

所以，曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为，

即6x+25y﹣32=0．

（II）解：=．

由于a≠0，以下分两种情况讨论．

（1）当a＞0时，令f'（x）=0，得到．

当x变化时，f'（x），f（x）的变化情况如下表：

所以f（x）在区间，（a，+∞）内为减函数，

在区间内为增函数．

函数f（x）在处取得极小值，且．

函数f（x）在x2=a处取得极大值f（a），且f（a）=1．

（2）当a＜0时，令f'（x）=0，得到．

当x变化时，f'（x），f（x）的变化情况如下表：

所以f（x）在区间（﹣∞，a）内为增函数，在区间内为减函数．

函数f（x）在x1=a处取得极大值f（a），且f（a）=1．

函数f（x）在处取得极小值，且．

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知识点

导数的几何意义利用导数研究函数的单调性利用导数求函数的极值

题型：单选题

单选题 · 5 分

9．设曲线在点处的切线与轴的交点的横坐标为,令，则的值为（）

A2014

B2013

D- 1

正确答案

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利用导数求函数的极值

题型：单选题

单选题 · 5 分

11.函数有（）

A极大值，极小值

B极大值，极小值

C极大值，无极小值

D极小值，无极大值

正确答案

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利用导数研究函数的单调性利用导数求函数的极值

题型：简答题

简答题 · 14 分

22.已知函数

（1）若处取得极值，求实数a的值；

（2）在（1）的条件下，若关于x的方程上恰有两个不同的实数根，求实数m的取值范围；

（3）若存在，使得不等式成立，求实数a的取值范围。

正确答案

（1）

由题意得，经检验满足条件。

（2）由（1）知

令（舍去）

当x变化时，的变化情况如下表：

∵关于x的方程上恰有两个不同的实数根，

（3）由题意得，

①若

单调递减。

∴当

②当a>0时随x的变化情况如下表：

由

综上得a>3.

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利用导数研究函数的单调性利用导数求函数的极值利用导数求函数的最值利用导数求参数的取值范围

题型：填空题

填空题 · 4 分

15．已知数列的前项和为，且，则数列的通项公式为（）．

正确答案

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利用导数求函数的极值

题型：简答题

简答题 · 14 分

22．已知，其中是自然对数的底，

（1）时，求的单调区间、极值；

（2）是否存在实数，使的最小值是3，若存在，求出的值，若不存在，说明理由；

（3）在（1）的条件下，求证：。

正确答案

（1）

减区间增区间

极小值

（2）

在上是减函数

在上是减函数，是增函数

所以存在

（3）在上的最小值为1

在上为增函数最大值

而

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利用导数研究函数的单调性利用导数求函数的极值利用导数求函数的最值利用导数证明不等式

题型：单选题

单选题 · 5 分

10.已知可导函数的导函数的部分图象如右图所示,则函数的部分图象可能是( )

正确答案

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知识点

函数的图象与图象变化利用导数研究函数的单调性利用导数求函数的极值

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