热门试卷

（Ⅰ）函数的定义域为．

．

当时，,

令，得，

所以随的变化情况如下表：

所以在处取得极小值,  无极大值．

的单调递减区间为，单调递增区间为．

（Ⅱ）因为关于的方程有解,

令，则问题等价于函数存在零点,

所以．

令，得．

当时，对成立，函数在上单调递减，

而，，

所以函数存在零点．

当时，随的变化情况如下表：

所以为函数的最小值,

当时，即时，函数没有零点,

当时，即时，注意到, 所以函数存在零点．

综上，当或时，关于的方程有解．

法二：

因为关于的方程有解，

所以问题等价于方程有解，

令，所以,

令，得

当时，随的变化情况如下表：

所以函数在处取得最大值，而．

，

所以函数存在零点．

当时，随的变化情况如下表：

所以函数在处取得最小值，而．

当时，即时，函数不存在零点．

当，即时，  

所以函数存在零点．

综上，当或时，关于的方程有解．

法三：因为关于的方程有解，

所以问题等价于方程有解，

设函数，所以．

令，得，

随的变化情况如下表：

所以函数在处取得最大值，而，

又当时，, 所以,

所以函数的值域为,

所以当时，关于的方程有解，

所以．

试题分析：本题属利用导数求单调区间、最值及不等式恒成立问题，解析如下：

解：（1） 时，，定义域为，

时，恒成立，

所以在上为单调增函数(Ⅱ)因为，

所以，，

(i) 若，在上非负（仅当时，），

故函数在上是增函数，

此时

(ii)若，,

当时，, 当时，，此时是减函数；

 当时，，此时是增函数．

故

（3） ，不等式，即 可化为．

因为, 所以且等号不能同时取，

所以，即，

因而（）令（），

又，

当时，，，

从而（仅当时取等号），

所以在上为增函数，故的最小值为，

所以实数的取值范围是

试题分析：本题属于导数应用中的基本问题，题目的难度是逐渐由易到难，（1）直接按照步骤来求；（2）要注意对参数的讨论．

（1），因为f(x)定义域为（0，+∞），

所以ax2-2x+a=0有正根且不为等根。显然a≠0,由x1x2=1>0.得Δ>0且x1+x2>0,

所以  0<a<1 。