热门试卷

试题分析：本题属于导数与函数的基本问题，题目的难度是逐渐由易到难，直接按照步骤来求

(1)函数的定义域为(0，＋∞)．

当a＝3时，f(x)＝－x2＋3x－ln x，f′(x)＝＝－，

当<x<1时，f′(x)>0，f(x)单调递增；当0<x<及x>1时，f′(x)<0，f(x)单调递减．

所以f(x)极大值＝f(1)＝2，f(x)极小值＝f＝＋ln 2

(2) f′(x)＝(1－a)x＋a－＝＝，

当＝1，即a＝2时，f′(x)＝－≤0，f(x)在定义域上是减函数；

当0<<1，即a>2时，令f′(x)<0，得0<x<或x>1；令f′(x)>0，得<x<1

当>1，即1<a<2时，由f′(x)>0，得1<x<；由f′(x)<0，得0<x<1或x>，

综上，当a＝2时，f(x)在(0，＋∞)上是减函数；

当a>2时，f(x)在和(1，＋∞)单调递减，在上单调递增；

当1<a<2时，f(x)在(0，1)和单调递减，在上单调递增．

试题分析：本题属于导数应用中的基本问题，题目的难度是逐渐由易到难，（1）直接按照步骤来求（2）要注意对参数的讨论（3）涉及恒成立问题，转化成求函数的最值，这种思路是一般解法，往往要利用“分离参数法”．涉及对数函数，要特别注意函数的定义域．

（1）由题意得，因函数在处的切线方程为，

所以，得.

（2）由（1）知对任意都成立，

所以，即对任意都成立，从而.

又不等式整理可得，令，

所以，得，

当时，，函数在上单调递增，

同理，函数在上单调递减，所以，

综上所述，实数的取值范围是.

（3）结论是.

证明：由题意知函数，所以，

易得函数在单调递增，在上单调递减，所以只需证明即可.

因为是函数的两个零点，所以，相减得，

不妨令，则，则，所以，，

即证，即证，

因为，所以在上单调递增，所以，

综上所述，函数总满足成立.

（Ⅰ）-----------------------------2分

当时，  当时，

在在单调递减，在在单调递增，----------------------------------4分

-------------------------------------------------------------5分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知----------------------6分

从而--------7分

记

则----------------------------------------9分

当时，当时，

在在单调递增，在在单调递减，--------------------------------10分

故，

故原命题得证. -----------------------------------------------------------------12分