- 利用导数求函数的极值
- 共167题
如图,是可导函数,直线是曲线在处的切线,令,则 ;
正确答案
解析
略
知识点
某工厂共有10台机器,生产一种仪器元件,由于受生产能力和技术水平等因素限制,会产生一定数量的次品.根据经验知道,若每台机器产生的次品数P(万件)与每台机器的日产量之间满足关系:已知每生产1万件合格的元件可以盈利2万元,但每产生1万件装次品将亏损1万元.(利润=盈利—亏损)
(1)试将该工厂每天生产这种元件所获得的利润(万元)表示为的函数;
(2)当每台机器的日产量(万件)写为多少时所获得的利润最大,最大利润为多少?
正确答案
见解析。
解析
知识点
已知函数
(1)若函数在x=2处取得极值,求实数a的值;
(2)若函数在定义域内单调递增,求a的取值范围;
(3)若时,关于x的方程在[1,4]上恰有两个不相等的实数根,求实数b的取值范围。
正确答案
见解析。
解析
知识点
函数,其中实数为常数。
(1) 当时,求函数的单调区间;
(2) 若曲线与直线只有一个交点,求实数的取值范围。
正确答案
(1)的单调递增区间是,;单调递减区间是
(2)
解析
(1)因为………………2分
当时,,令,所以
随的变化情况如下表:
………………4分
所以的单调递增区间是,
单调递减区间是………………6分
(2)令,所以只有一个零点………………7分
因为
当时,,所以只有一个零点0 ………………8分
当时,对成立,
所以单调递增,所以只有一个零点………………9分
当时,令,解得或……………10分
所以随的变化情况如下表:
有且仅有一个零点等价于………………11分
即,解得………………12分
综上所述,的取值范围是………………13分
知识点
已知函数,.
(1)讨论函数的单调区间;
(2)若函数在处取得极值,对,恒成立,求实数的取值范围.
正确答案
见解析
解析
(1)在区间上, . ……………………1分
①若,则,是区间上的减函数; ……………3分
②若,令得.
在区间上, ,函数是减函数;
在区间上, ,函数是增函数;
综上所述,①当时,的递减区间是,无递增区间;
②当时,的递增区间是,递减区间是. …………6分
(2)因为函数在处取得极值,所以
解得,经检验满足题意. …………7分
由已知则 …………………8分
令,则 …………………10分
易得在上递减,在上递增, …………………12分
所以,即。 …………14分
知识点
函数f (x)的定义域为R,导函数的 图像如图1所示,则函数f (x)
正确答案
解析
由题图知= 0的x值有4个,再由极值定义判断可知C为答案
知识点
已知函数,其中,
(1) 当时,求曲线在点处的切线方程;
(2)讨论的单调性;
(3)若有两个极值点和,记过点的直线的斜率为,问是否存在,使得?若存在,求出的值,若不存在,请说明理由。
正确答案
见解析。
解析
(1)当时,,所以
, ,
又因为切线过,所以切线方程为
(2)的定义域为,
令,其判别式
① 当,故上单调递增
② 当,的两根都小于0,在上,,故上单调递增,
③ 当,设的两根为,,
当时, ;当时, ;当时, ,故分别在上单调递增,在上单调递 减,
(3)由(2)可知:当在上有两个极值点
因为
所以
由(2)可知:,于是,
若存在,使得,则,
即,
亦即
设函数,
当时,
所以在上单调递增,
而,所以,
这与式矛盾,故不存在,使得
知识点
函数的最大值与最小值之和为( )
正确答案
解析
略
知识点
已知函数的图像经过原点O,且在处取得极值,曲线在原点处的切线与直线的夹角为45°,且切线的倾斜角为钝角。
(1)求的解析式;
(2)若函数的图像与函数的图像恰有3个不同交点,求实数m的取值范围。
正确答案
见解析。
解析
(1)由的图像过原点得
在处取得极值
在原点处切线的斜率,且
又∵曲线在原点处的切线与直线的夹角为45°
由<1><2><3>可求得,
(2)若函数的图像与函数的图像恰有3个不同的交点,即方程,亦即恰有3个不等实根。
是上述方程的一个根
∴方程有两个非零且不等实根
解得:,或,或
所以当实数时,函数的图像与函数的图像恰有3个不同交点。
知识点
已知函数。
(1)当时,求的极值;
(2)时,讨论的单调性;
(3)若对任意的恒有成立,求实数的取值范围。
正确答案
见解析。
解析
(1)解:
(2)
知识点
扫码查看完整答案与解析