利用导数求函数的极值
共167题

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题型：单选题

单选题 · 5 分

已知，现给出如下结论：①；②；③；④.其中正确结论的序号为：

A①③

B①④

C②④

D②③

正确答案

解析

函数的导数为。则函数在处取得极大值，在处取得极小值，因为，所以函数有3个零点，则，即，解得，即，所以，所以，.所以选D.

知识点

命题的真假判断与应用利用导数求函数的极值

题型：简答题

简答题 · 12 分

已知函数在处取得极值。

（1）求实数的值；

（2）若关于的方程在区间上恰有两个不同的实数根，求实数的取值范围。

正确答案

见解析。

解析

（1）.

∵时，取得极值，∴.

故，解得.

经检验符合题意，∴.

（2）知，由，得

，令，则

在上恰有两个不同的实数根等价于

在上恰有两个不同实数根。

当时，，于是在上单调递增；

当时，，于是在上单调递减.

依题意有，

解得，

∴实数的取值范围是.

知识点

利用导数求函数的极值利用导数求参数的取值范围

题型：简答题

简答题 · 14 分

已知函数，。

(1)若不等式在区间 ()内的解的个数；

(2)求证：。

正确答案

见解析。

解析

(1) 由，得。

令所以，方程在区间内解的个数即为函数的图像与直线交点的个数。

当时, .

当在区间内变化时, , 变化如下:

当时，；当时，；当时，。

所以，　（i）当或时，该方程无解

（ii）当或时，该方程有一个解；

（iii）当时，该方程有两个解。

(2) 由(1)知，∴.

∴. -

∴

∴.

∵.

∴ .

知识点

利用导数研究函数的单调性利用导数求函数的极值利用导数证明不等式

题型：简答题

简答题 · 12 分

已知函数是常数，且当和时，函数取得极值

（1）求函数的解析式；

（2）若曲线与有两个不同的交点，求实数的取值范围

正确答案

见解析。

解析

（1），

依题意，即解得

∴

（2）由（1）知，曲线与有两个不同的

交点，即在上有两个不同的实数解…5分

设，则，

由0的或

当时，于是在上递增；

当时，于是在上递减.

依题意有.

∴实数的取值范围是.

知识点

利用导数求函数的极值利用导数求参数的取值范围

题型：单选题

单选题 · 5 分

已知，现给出如下结论：①；②；③；④.其中正确结论的序号为：

A①③

B①④

C②④

D②③

正确答案

解析

函数的导数为。则函数在处取得极大值，在处取得极小值，因为，所以函数有3个零点，则，即，解得，即，所以，所以，.所以选D.

知识点

函数零点的判断和求解利用导数研究函数的单调性利用导数求函数的极值

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