利用导数求函数的极值
共167题

· 利用导数求函数的极值

利用导数求函数的极值
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题型：简答题

简答题 · 14 分

因客流量临时增大, 某鞋店拟用一个高为50㎝（即=50㎝）的平面镜自制一个竖直摆放的简易鞋镜. 根据经验,一般顾客的眼睛到地面的距离在区间内. 设支架高为㎝, ㎝, 顾客可视的镜像范围为(如图所示), 记的长度为（）。

（1）当㎝时, 试求关于的函数关系式和的最大值；

（2）当顾客的鞋在镜中的像满足不等关系（不计鞋长）时, 称顾客可在镜中看到自己的鞋. 若使一般顾客都能在镜中看到自己的鞋, 试求的取值范围。

正确答案

见解析

解析

解: （1）因为,,所以由,即,解得,

同理,由,即, 解得

所以

因为, 所以在上单调递减,

故当㎝时, 取得最大值为140㎝

另法: 可得, 因为在上单调递增,

所以在上单调递减, 故当㎝时,取得最大值为140㎝

（2）由,得,由,得,所以由题意知,即对恒成立

从而对恒成立,解得,故的取值范围是

知识点

利用导数求函数的极值

题型：单选题

单选题 · 5 分

已知实数a、b、c、d成等比数列，且函数时取到极大值c，则ad等于

A—1

正确答案

解析

y′＝－1，令y′＝0得x＝－1，当－2<x<－1时，y′>0，当x>－1时，y′<0，∴b＝－1，c＝ln（－1＋2）－（－1）＝1，∴ad＝bc＝－1，故选A

知识点

利用导数求函数的极值等比数列的性质及应用

题型：简答题

简答题 · 14 分

设函数

（1）设函数的单调区间；

（2）若，试研究函数的零点个数。www.zxxk.com

正确答案

见解析。

解析

（1）的定义域是

∵∴………………2分

（a）当时，∴，则g（x）在上单调递增.

故单调增区间是……………………………………………………4分

（b）当时，

①当时，∴，则在上单调递增。

②当时，∴，则在上单调递减。

∴时的单调增区间是减区间是（0，a）……………………6分

综上当时的单调增区间是

当时的单调增区间是减区间是（0，a）.

（2）由题（1）知，在时取到最小值，且为

………………………………………………………………………………………9分

∵∴∴∴

上单调递增………………………………………………………11分

∵

∴在内有零点………………………………………………………13分

故函数的零点个数为………………………………14分

知识点

利用导数研究函数的单调性利用导数求函数的极值

题型：简答题

简答题 · 14 分

设函数

（1）若在时有极值，求实数的值和的单调区间;

（2）若在定义域上是增函数,求实数的取值范围。

正确答案

见解析。

解析

（1）在时有极值，有， ……………… 2分

又，有， ……………………5分

有，

由有， ………7分

又关系有下表

的递增区间为和，递减区间为 ……………………9分

（2）若在定义域上是增函数,则在时恒成立，……………………10分

，需时恒成立，………11分

化为恒成立，，需，此为所求。…………14分

知识点

利用导数研究函数的单调性利用导数求函数的极值利用导数求参数的取值范围

题型：简答题

简答题 · 14 分

已知函数.，且曲线上的点处的切线方程为.

（1）若在时有极值，求的表达式；

（2）若函数在区间[-2,1]上单调递增，求b的取值范围.

正确答案

见解析。

解析

（1）由求导数得，………1分

过上点P(1,f(1))处的切线方程为：，

即，……………………………………………3分

而过上的点处的切线方程为，

故，即，

因为在时有极值，

故………（3）

由（1）（2）（3）联立解得，……………………………………6分

所以.…………………………………………………………7分

（2）在区间[-2，1]上单调递增，

又，由（1）知，

，

依题意在[-2,1]上恒成立

即在[-2，1]上恒成立.………………………………………………………10分

①在时，；

②在时，；

③在时，则

综合上述讨论可知，所求参数b的取值范围是.……………………………………14分

知识点

导数的几何意义利用导数研究函数的单调性利用导数求函数的极值利用导数求参数的取值范围

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