几何证明选讲_章节学习

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题型：简答题

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简答题 · 10 分

21．（选修4—1：几何证明选讲）

如图，为⊙的直径，直线与⊙相切于点，，，、为垂足，连接. 若，，求的长.

正确答案

解析

试题分析：本题属于平面几何中的基本问题，通过三角形相似得到角相等，再由全等三角形的性质得到边相等，进而求出BD.

因为与相切于，所以，

又因为为的直径，所以.

又，所以，所以，所以.

又，，所以.

所以，所以，

又，所以.

考查方向

本题考查了三角形相似和三角形全等的判定和性质、直线与圆相切的转化。

解题思路

判定三角形相似和全等的方法要牢记，要借助图形判断，要结合题意找出需要的条件。

易错点

找不到角相等的转化，从而在三角形相似和三角形全等中造成条件不足。

知识点

圆的切线的性质定理的证明与圆有关的比例线段

1

题型：简答题

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简答题 · 10 分

选修4-1：几何证明选讲

如图，是的直径，弦的延长线相交于点，垂直的延长线于点．

28.求证：；

29.求证：．

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

详见解题过程；

解析

试题分析：本题属于平面几何的基本问题，由圆的性质直接导出角关系。∵为圆的直径，∴．又，则四点共圆，∴．

考查方向

本题考查了平面几何中直线与圆的相关问题，相似、全等三角形和角平分线的性质．

解题思路

本题考查圆的性质及相似、全等，解题步骤如下：由圆的性质得到角的等量关系。

易错点

对图形的分析不到位和定理不熟练导致出错。

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

详见解题过程

解析

试题分析：本题属于平面几何的基本问题，由相似关系去证所证。连接，由⑴知．又，∴，即，∴．

考查方向

本题考查了平面几何中直线与圆的相关问题，相似、全等三角形和角平分线的性质．

解题思路

本题考查圆的性质及相似、全等，解题步骤如下：由相似关系去证所证。

易错点

对图形的分析不到位和定理不熟练导致出错。

1

题型：简答题

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简答题 · 10 分

选修4—1，几何证明选讲

圆的两弦和交于点，∥，交的延长线于点，切圆于点.

28.求证：△∽△；

29.如果，求的长．

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

见解析

解析

考查方向

相似三角形、与圆有关的比例线段

解题思路

利用辅助线，做出相似三角形，根据相似求出相关线段的长

易错点

辅助线，三角形相似条件找不准

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

见解析

解析

∽又因为为切线，则所以，.

考查方向

相似三角形、与圆有关的比例线段

解题思路

利用辅助线，做出相似三角形，根据相似求出相关线段的长

易错点

辅助线，三角形相似条件找不准

1

题型：简答题

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简答题 · 10 分

选修4—1：几何证明选讲

如图，正方形边长为2，以为圆心，为半径的圆弧与以为直径的半圆交于点，连结并延长交于点．

28.求证：；

29．求的值.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

见解析．

解析

试题分析：本题属于圆的综合应用问题，属于简单题，只要掌握相关圆的知识，即可解决本题，解析如下：由以D为圆心DA为半径作圆，而ABCD为正方形，所以EA为圆D的切线．得；另外圆O以BC为直径，所以EB是圆O的切线．得，因此．

考查方向

本题考查了相交弦定理，射影定理等知识点。

解题思路

直接利用相交弦定理即可证明．

易错点

不熟悉射影定理导致本题失分。

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

．

解析

试题分析：本题属于圆的综合应用问题，属于简单题，只要掌握相关圆的知识，即可解决本题，解析如下：连结，因为BC为圆O直径，所以．在直角△中，可求得．由射影定理得．

考查方向

本题考查了相交弦定理，射影定理等知识点。

解题思路

利用相射影定理求的值．

易错点

不熟悉射影定理导致本题失分。

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题型：简答题

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简答题 · 10 分

22.如图，是圆外一点，是圆的切线，为切点，割线与圆交于，，，为中点，的延长线交圆于点

证明：（Ⅰ）；

（Ⅱ）.

正确答案

略

解析

试题分析：本题属于平面几何中的基本问题，题目的难度是容易题。

（Ⅰ）证明：连接，,由题设知，故

因为：，，

由弦切角等于同弦所对的圆周角：，

所以：，从而弧弧，因此：

（Ⅱ）由切割线定理得：，因为，

所以：，

由相交弦定理得：

所以：

考查方向

本题考查了平面几何的知识，主要涉及直线与圆的位置关系，三角形相似的考查．

解题思路

本题考查平面几何的知识，解题步骤如下：

1、利用圆的相关定理证明。

2、原来切割线定理和相交弦定理证明。

易错点

知识点

相似三角形的判定与圆有关的比例线段

1

题型：简答题

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简答题 · 10 分

22．选修4-1几何证明选讲如图，是圆的直径，点在弧上，点为弧的中点，作于点，与交于点，与交于点．(Ⅰ)证明：； (Ⅱ)若，求圆的半径．

23. 选修4-4极坐标与参数方程

已知曲线的极坐标方程为,将曲线（为参数）经过伸缩变换后得到曲线．(Ⅰ)求曲线的参数方程； (Ⅱ)若点在曲线上运动，试求出到曲线的距离的最小值

24选修4-5不等式证明选讲已知函数，且满足（）的解集不是空集．(Ⅰ)求实数的取值集合； (Ⅱ)若求证：．

正确答案

22.（1）连接，因为点为的中点，故，又因为，是的直径，

（2）由知直角中由勾股定理知圆的半径为10

23. （1）曲线的普通方程是：

（2）曲线的普通方程是：设点，由点到直线的距离公式得：其中时，，此时

24. （1）要的解集不是空集，则不妨设，则

解析

22. 连接，因为点为的中点，故，又因为，是的直径，（2）由知直角中由勾股定理知圆的半径为10

23. （1）曲线的普通方程是：（2）曲线的普通方程是：设点，由点到直线的距离公式得：其中时，，此时

24. 题意说明不等式有解，因此只要大于的最小值即可；（2）要证不等式，由于不等式两边均为正，因此我们采取作商法，两边同除以，只要证，即，而这由幂的知识可得

考查方向

22.圆周角定理，相似三角形的性质．23. 椭圆的参数方程，坐标变换，点到直线距离公式．24. 不等式有解问题，不等式的证明．

解题思路

22.利用圆周角定理计算，结合相似性质求解 23. 先求出直角坐标系下的椭圆方程，然后得到距离公式，进而判断最值24.利用集合的概念先解出不等式的解集，然后化简求解。

易错点

22.找相似条件 23. 参数方程的坐标转换，最值的判断 24. 基本不等式的应用，不等式的判断

知识点

与圆有关的比例线段

1

题型：简答题

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简答题 · 10 分

22．选修4－1：几何证明选讲

如图，是圆的直径，是弦，的平分线交圆于点，，交的延长线于点，交于点。

（Ⅰ）求证：是圆的切线；

（Ⅱ）若，求的值．

正确答案

见解析．

解析

试题分析：本题属于平面几何中的基本问题，题目的难度是容易题。

（Ⅰ）连接，可得，∴

又，∴，又为半径，∴是圆的切线

（Ⅱ）过作于点，连接，则有，

设，则，∴

由可得，又由，

可得

考查方向

本题考查了平面几何的知识，主要涉及直线与圆的位置关系，三角形相似的考查．

解题思路

本题考查平面几何的知识，解题步骤如下：利用圆的相关定理证明；利用切割线定理和相交弦定理证明。

易错点

知识点

圆的切线的判定定理的证明与圆有关的比例线段

1

题型：填空题

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填空题 · 5 分

12．如图，在中，，，，点为的中点，以为直径的半圆与，分别相交于点，，则____； ____．

正确答案

解析

作出圆的另外半圆，连接，因为是圆的切线，是圆的割线，由切割线定理，得，即，即，解得；因为是圆的直径，所以，在中，由射影定理，得，两式相比，得．

考查方向

本题主要考查了圆的切割线定理、直角三角形的射影定理的应用．

解题思路

作出圆的另外半圆，连接，因为是圆的切线，是圆的割线，由切割线定理，得，即，即，解得；因为是圆的直径，所以，在中，由射影定理，得，两式相比，得．

易错点

本题易在利用切割线定理求时出现错误，易忽视，而不是．

知识点

与圆有关的比例线段

1

题型：简答题

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简答题 · 10 分

22．选修4—1：几何证明选讲。

如图，于点，以为直径的圆与交于点．

（Ⅰ）求证：；

（Ⅱ）若，点在线段上移动，,与相交于点，求的最大值．

正确答案

解,（Ⅰ）在中，，于点，

所以，

因为是圆的切线，

由切割线定理得．

所以．

（Ⅱ）因为，所以．

因为线段的长为定值，即需求解线段长度的最小值．

弦中点到圆心的距离最短，此时为的中点，点与点或重合．

因此．

解析

（Ⅰ）在中，，于点，

所以，

因为是圆的切线，

由切割线定理得．

所以．

（Ⅱ）因为，所以．

因为线段的长为定值，即需求解线段长度的最小值．

弦中点到圆心的距离最短，此时为的中点，点与点或重合．

因此． 23. （Ⅰ）曲线：的直角坐标方程为．

曲线与轴交点为．

曲线：的直角坐标方程为．

曲线与轴交点为．

由，曲线与曲线有一个公共点在x轴上，知．

（Ⅱ）当时, 曲线：为圆．

圆心到直线的距离．

所以两点的距离．

考查方向

本题考查了几何选讲部分的直线与圆中的切割线定理、垂径定理以及直角三角形射影定理，高考在22题中的三选一出现。

解题思路

易错点

第一问未能准确读图，找到线段关系;第二问不能充分利用OF⊥NF得到，则无法继续求解。

知识点

圆的切线的判定定理的证明与圆有关的比例线段

1

题型：简答题

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简答题 · 10 分

22. 如图，直线AB为圆的切线，切点为B，点C在圆上，∠ABC的角平分线BE交圆于点E，DB 垂直BE交圆于点D.

(1)证明：DB = DC;(2)设圆的半径为1，BC=,延长CE交AB于点F，求△BCF外接圆的半径.

正确答案

（2）

解析

（I）证明：连接DE交BC于点G．由弦切角定理可得∠ABE=∠BCE，而∠ABE=∠CBE，

∴∠CBE=∠BCE，BE=CE．

又∵DB⊥BE，∴DE为⊙O的直径，∠DCE=90°．

∴△DBE≌△DCE，∴DC=DB．

（II）由（I）可知：∠CDE=∠BDE，DB=DC．故DG是BC的垂直平分线，

∴BG=设DE的中点为O，连接BO，则∠BOG=60°．

从而∠ABE=∠BCE=∠CBE=30°．

∴CF⊥BF．

∴Rt△BCF的外接圆的半径=

考查方向

本题综合考查了圆的性质、弦切角定理、等边三角形的性质、三角形全等、三角形的外接圆的半径等知识，需要较强的推理能力、分析问题和解决问题的能力了与圆有关的比例线段

解题思路

（I）连接DE交BC于点G，由弦切角定理可得∠ABE=∠BCE，由已知角平分线可得∠ABE=∠CBE，于是得到∠CBE=∠BCE，BE=CE．由已知DB⊥BE，可知DE为⊙O的直径，Rt△DBE≌Rt△DCE，利用三角形全等的性质即可得到DC=DB．

（II）由（I）可知：DG是BC的垂直平分线，即可得到BG=．设DE的中点为O，连接BO，可得∠BOG=60°．从而∠ABE=∠BCE=∠CBE=30°．得到CF⊥BF．进而得到Rt△BCF的外接圆的半径=．

易错点

弦切角定理不会灵活应用

知识点

圆的切线的性质定理的证明与圆有关的比例线段

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