推理与证明_章节学习

1

题型：简答题

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简答题 · 10 分

24．设集合，记的含有三个元素的子集个数为，同时将每一个子集中的三个元素由小到大排列，取出中间的数，所有这些中间的数的和记为.

（1）求，，，的值；

（2）猜想的表达式，并证明之.

正确答案

（1），，，.

（2）猜想.

解析

试题分析：本题属于探究性问题，题目的难度是逐渐由易到难，通过归纳猜想，得出结论，再利用数学归纳法进行证明。

（1），，，.

（2）猜想.

下用数学归纳法证明之.

证明：①当时，由（1）知猜想成立；

②假设当时，猜想成立，即，而，所以得. ……6分

则当时，易知，

而当集合从变为时，在的基础上增加了1个2，2个3，3个4，…，和个，

所以

，

即.

所以当时，猜想也成立.

综上所述，猜想成立.

考查方向

本题考查了集合、数列的概念与运算，考查探究能力及运用数学归纳法的推理论证能力。

解题思路

本题考查数学归纳法，解题步骤如下：

1、验证当n取第一个值时命题成立( 即n＝时命题成立) (归纳奠基）；

2、假设当时命题成立，证明当n=k＋1时命题成立(归纳递推）

3、由（1）（2）就可以判定，对于一切n≥的所有自然数n命题成立(结论）

易错点

数学归纳法证明的步骤，尤其第二部归纳递推要过程充分。

知识点

归纳推理数学归纳法的应用

1

题型：单选题

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单选题 · 5 分

10．某种实验中，先后要实施个程序，其中程序A只能出现在第一步或最后一步，程序B和C实施时必须相邻，请问实验顺序的编排方法共有（）

A24种

B48种

C96种

D144种

正确答案

C

解析

解析已在路上飞奔，马上就到！

知识点

归纳推理

1

题型：填空题

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填空题 · 4 分

15．已知x>0，由不等式≥2·=2，=≥=3,

…，启发我们可以得出推广结论：≥n+1 （n∈N*），则a=_______________．

正确答案

nn

解析

解析已在路上飞奔，马上就到！

知识点

归纳推理

1

题型：填空题

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填空题 · 4 分

16．已知，把数列的各项排成三角形状；记A（m，n）表示第m行，第n列的项，则A（10，8）=_________。

正确答案

解析

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知识点

等差数列的基本运算等差数列的前n项和及其最值归纳推理

1

题型：单选题

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单选题 · 5 分

5.设0<θ<,已知x1=2sin（）,xn+1=,则猜想xn=（　　）.

A2sin

B2sin

C2cos

D2cos

正确答案

C

解析

由已知得x1=2sin()=2cos,又xn+1=,

则x2===2cos,

x3===2cos,

…,xn=2cos,故选C

知识点

由递推关系式求数列的通项公式归纳推理

1

题型：单选题

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单选题 · 5 分

8.观察下列各式:71=07,72=49,73=343,74=2401,…,则72016的末两位数字为（　　）.

A01

B07

C43

D49

正确答案

A

解析

根据题意,71=07,72=49,73=343,74=2401,则75在74的基础上再乘以7,所以末两位数字为07,所以7n的末两位数字依次为07,49,43,01,07,…,所以7n的末两位数呈周期变化,周期为4,而72016=74×504,则72016和74的末两位数字相同,其末两位数字是01,故选A.

知识点

归纳推理

1

题型：填空题

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填空题 · 5 分

设，且满足：，，则_________.

正确答案

解析

略

知识点

进行简单的合情推理一般形式的柯西不等式

1

题型：填空题

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填空题 · 5 分

若存在正实数，对于任意，都有，则称函数在上是有界函数，下列函数

① ；②；③；④，

其中“在上是有界函数”的序号为__________。

正确答案

②③

解析

略

知识点

函数的值域进行简单的合情推理

1

题型：填空题

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填空题 · 5 分

在实数集R中，我们定义的大小关系“＞”为全体实数排了一个“序”，类似的，我们在平面向量集上也可以定义一个称为“序”的关系，记为“”.定义如下：对于任意两个向量当且仅当“”或“”.按上述定义的关系“”，给出如下四个命题：

①若；

②若；

③若，则对于任意；

④对于任意向量.

其中真命题的序号为

正确答案

解析

略

知识点

命题的真假判断与应用平面向量数量积的运算进行简单的合情推理

1

题型：填空题

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填空题 · 5 分

14．我们知道，把所有的正整数按照不同的方式排列，就会出现很多不同的意义。现在把所有正整数按从小到大的顺序排成如图所示的数表，其中第行共有个正整数，设表示位于这个数表中从上往下数第行，从左往右数第个数，若，则的和为．

正确答案

1004

解析

最后一个数是首项为1，等比为2的前n项和，n+1表示行数，当n=10时，即第11行的最后一个数为2047，第11行共有=1024个数，2047-2016=31,1024-31=993，即2016是第11行，第993个数，11+993=1004

考查方向

等比数列前n项和公式。

解题思路

最后一个数是首项为1，等比为2的前n项和，n+1表示行数，当n=10时，即第11行的最后一个数为2047，第11行共有=1024个数，2047-2016=31,1024-31=993，即2016是第11行，第993个数，11+993=1004

易错点

找不到规律；推理出错，计算错误都是导致出错的原因。

知识点

等差数列的基本运算等比数列的基本运算归纳推理

1

题型：填空题

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填空题 · 4 分

设,以间的整数为分子，以为分母组成分数集合，其所有元素和为；以间的整数为分子，以为分母组成不属于集合的分数集合，其所有元素和为；……，依次类推以间的整数为分子，以为分母组成不属于的分数集合，其所有元素和为；则=________.

正确答案

解析

略

知识点

元素与集合关系的判断等差数列的前n项和及其最值进行简单的合情推理

1

题型：简答题

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简答题 · 13 分

已知集合，对于，，定义；

；与之间的距离为。

（1）当时，设，，若，求；

（2）（ⅰ）证明：若，且，使，则；

（ⅱ）设，且，是否一定，使？

说明理由；

（3）记，若，，且，求的最大值。

正确答案

见解析

解析

（1）解：当时，由，

得，即。

由，得，或。 ………………3分

（2）（ⅰ）证明：设，，。

因为，使，

所以，使得，

即，使得，其中。

所以与同为非负数或同为负数。 ………………5分

所以

。 ………………6分

（ⅱ）解：设，且，此时不一定，使得

。 ………………7分

反例如下：取，，，

则，，，显然。

因为，，

所以不存在，使得。 ………………8分

（3）解法一：因为，

设中有项为非负数，项为负数，不妨设时；时，。

所以

因为，

所以，整理得。

所以。……………10分

因为

；

又，

所以

。

即。 ……………12分

对于，，有，，且，

。

综上，的最大值为。 ……………13分

解法二：首先证明如下引理：设，则有。

证明：因为，，

所以，

即。

所以

。 ……………11分

上式等号成立的条件为，或，所以。 ……………12分

对于，，有，，且，

。

综上，的最大值为。 ……………13分

知识点

平行向量与共线向量分组转化法求和进行简单的合情推理绝对值三角不等式

1

题型：填空题

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填空题 · 5 分

已知…（都是正

整数，且互质），通过推理可推测、的值，则= .

正确答案

41

解析

略

知识点

进行简单的合情推理

1

题型：填空题

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填空题 · 5 分

对于两个图形，我们将图形上的任意一点与图形上的任意一点间的距离中的最小值，叫做图形与图形的距离.若两个函数图像的距离小于1，陈这两个函数互为“可及函数”。给出下列几对函数，其中互为“可及函数”的是_________.（写出所有正确命题的编号）

①； ②，；

③，； ④，；

⑤，.

正确答案

②④

解析

略

知识点

进行简单的合情推理

1

题型：填空题

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填空题 · 5 分

对于集合，定义：

的“正弦方差”，则集合的“正弦方差”为。

正确答案

解析

略

知识点

三角函数的化简求值进行简单的合情推理

热门试卷

正确答案

解析

考查方向

解题思路

易错点

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