- 推理与证明
- 共88题
24.设集合,记
的含有三个元素的子集个数为
,同时将每一个子集中的三个元素由小到大排列,取出中间的数,所有这些中间的数的和记为
.
(1)求,
,
,
的值;
(2)猜想的表达式,并证明之.
正确答案
(1),
,
,
.
(2)猜想.
解析
试题分析:本题属于探究性问题,题目的难度是逐渐由易到难,通过归纳猜想,得出结论,再利用数学归纳法进行证明。
(1),
,
,
.
(2)猜想.
下用数学归纳法证明之.
证明:①当时,由(1)知猜想成立;
②假设当时,猜想成立,即
,而
,所以得
. ……6分
则当时,易知
,
而当集合从
变为
时,
在
的基础上增加了1个2,2个3,3个4,…,和
个
,
所以
,
即.
所以当时,猜想也成立.
综上所述,猜想成立.
考查方向
解题思路
本题考查数学归纳法,解题步骤如下:
1、验证当n取第一个值时命题成立( 即n=
时命题成立) (归纳奠基) ;
2、假设当时命题成立,证明当n=k+1时命题成立(归纳递推)
3、由(1)(2)就可以判定,对于一切n≥的所有自然数n命题成立(结论)
易错点
数学归纳法证明的步骤,尤其第二部归纳递推要过程充分。
知识点
10.某种实验中,先后要实施个程序,其中程序A只能出现在第一步或最后一步,程序B和C实施时必须相邻,请问实验顺序的编排方法共有( )
正确答案
解析
解析已在路上飞奔,马上就到!
知识点
15.已知x>0,由不等式≥2·
=2,
=
≥
=3,
…,启发我们可以得出推广结论:≥n+1 (n∈N*),则a=_______________.
正确答案
nn
解析
解析已在路上飞奔,马上就到!
知识点
16.已知,把数列
的各项排成三角形状;记A(m,n)表示第m行,第n列的项,则A(10,8)=_________。
正确答案
解析
解析已在路上飞奔,马上就到!
知识点
5.设0<θ<,已知x1=2sin(
),xn+1=
,则猜想xn=( ).
正确答案
解析
由已知得x1=2sin()=2cos
,又xn+1=
,
则x2==
=2cos
,
x3==
=2cos
,
…,xn=2cos,故选C
知识点
8.观察下列各式:71=07,72=49,73=343,74=2401,…,则72016的末两位数字为( ).
正确答案
解析
根据题意,71=07,72=49,73=343,74=2401,则75在74的基础上再乘以7,所以末两位数字为07,所以7n的末两位数字依次为07,49,43,01,07,…,所以7n的末两位数呈周期变化,周期为4,而72016=74×504,则72016和74的末两位数字相同,其末两位数字是01,故选A.
知识点
设,且满足:
,
,则
_________.
正确答案
解析
略
知识点
若存在正实数,对于任意
,都有
,则称函数
在
上是有界函数,下列函数
① ;②
;③
;④
,
其中“在上是有界函数”的序号为__________。
正确答案
②③
解析
略
知识点
在实数集R中,我们定义的大小关系“>”为全体实数排了一个“序”,类似的,我们在平面向量集上也可以定义一个称为“序”的关系,记为“
”.定义如下:对于任意两个向量
当且仅当“
”或“
”.按上述定义的关系“
”,给出如下四个命题:
①若;
②若;
③若,则对于任意
;
④对于任意向量.
其中真命题的序号为
正确答案
解析
略
知识点
14.我们知道,把所有的正整数按照不同的方式排列,就会出现很多不同的意义。现在把所有正整数按从小到大的顺序排成如图所示的数表,其中第行共有
个正整数,设
表示位于这个数表中从上往下数第
行,从左往右数第
个数,若
,则
的和为 .
正确答案
1004
解析
最后一个数是首项为1,等比为2的前n项和,n+1表示行数,当n=10时,即第11行的最后一个数为2047,第11行共有=1024个数,2047-2016=31,1024-31=993,即2016是第11行,第993个数,11+993=1004
考查方向
解题思路
最后一个数是首项为1,等比为2的前n项和,n+1表示行数,当n=10时,即第11行的最后一个数为2047,第11行共有=1024个数,2047-2016=31,1024-31=993,即2016是第11行,第993个数,11+993=1004
易错点
找不到规律;推理出错,计算错误都是导致出错的原因。
知识点
设,以
间的整数为分子,以
为分母组成分数集合
,其所有元素和为
;以
间的整数为分子,以
为分母组成不属于集合
的分数集合
,其所有元素和为
;……,依次类推以
间的整数为分子,以
为分母组成不属于
的分数集合
,其所有元素和为
;则
=________.
正确答案
解析
略
知识点
已知集合,对于
,
,定义
;
;
与
之间的距离为
。
(1)当时,设
,
,若
,求
;
(2)(ⅰ)证明:若,且
,使
,则
;
(ⅱ)设,且
,是否一定
,使
?
说明理由;
(3)记,若
,
,且
,求
的最大值。
正确答案
见解析
解析
(1)解:当时,由
,
得 ,即
。
由 ,得
,或
。 ………………3分
(2)(ⅰ)证明:设,
,
。
因为 ,使
,
所以 ,使得
,
即 ,使得
,其中
。
所以 与
同为非负数或同为负数。 ………………5分
所以
。 ………………6分
(ⅱ)解:设,且
,此时不一定
,使得
。 ………………7分
反例如下:取,
,
,
则 ,
,
,显然
。
因为,
,
所以不存在,使得
。 ………………8分
(3)解法一:因为 ,
设中有
项为非负数,
项为负数,不妨设
时
;
时,
。
所以
因为 ,
所以 , 整理得
。
所以 。……………10分
因为
;
又 ,
所以
。
即 。 ……………12分
对于 ,
,有
,
,且
,
。
综上,的最大值为
。 ……………13分
解法二:首先证明如下引理:设,则有
。
证明:因为 ,
,
所以 ,
即 。
所以
。 ……………11分
上式等号成立的条件为,或
,所以
。 ……………12分
对于 ,
,有
,
,且
,
。
综上,的最大值为
。 ……………13分
知识点
已知…(
都是正
整数,且互质),通过推理可推测
、
的值,则
= .
正确答案
41
解析
略
知识点
对于两个图形,我们将图形
上的任意一点与图形
上的任意一点间的距离中的最小值,叫做图形
与图形
的距离.若两个函数图像的距离小于1,陈这两个函数互为“可及函数”。给出下列几对函数,其中互为“可及函数”的是_________.(写出所有正确命题的编号)
①; ②
,
;
③,
; ④
,
;
⑤,
.
正确答案
②④
解析
略
知识点
对于集合,定义:
的“正弦方差”,则集合
的“正弦方差”为 。
正确答案
解析
略
知识点
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