函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
共2159题

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函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
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题型：简答题

简答题

已知函数f（x）=sinxcosx-sin2x+2sin（x+）cosx．

（1）求f（x）的周期；

（2）求f（x）的递减区间；

（3）说明f（x）的图象可由y=sin2x的图象经过怎样的变换得到．

正确答案

解：（1）f（x）=sinxcosx-sin2x+2sin（x+）cosx

=sinxcosx-sin2x+2（sinx+cosx）cosx=2sinxcosx+cos2x

=2sin（2x+），

故函数的周期为T==π．

（2）令2kπ+≤2x+≤2kπ+，k∈z，求得kπ+≤x≤kπ+，

故函数的减区间为[kπ+，kπ+]，k∈z．

（3）由y=sin2x的图象向左平移个单位可得函数y=sin2（x+）=sin（2x+）的图象，

再把所得图象上点的纵坐标变为原来的2倍，可得函数f（x）=2sin（2x+）的图象．

解析

解：（1）f（x）=sinxcosx-sin2x+2sin（x+）cosx

=sinxcosx-sin2x+2（sinx+cosx）cosx=2sinxcosx+cos2x

=2sin（2x+），

故函数的周期为T==π．

（2）令2kπ+≤2x+≤2kπ+，k∈z，求得kπ+≤x≤kπ+，

故函数的减区间为[kπ+，kπ+]，k∈z．

（3）由y=sin2x的图象向左平移个单位可得函数y=sin2（x+）=sin（2x+）的图象，

再把所得图象上点的纵坐标变为原来的2倍，可得函数f（x）=2sin（2x+）的图象．

题型：简答题

简答题

函数f（x）=Asin（ωx+φ）（其中）的图象如图所示，把函数f（x）的图象向右平移个单位，再向下平移1个单位，得到函数y=g（x）的图象．

（Ⅰ）求函数y=g（x）的表达式；

（Ⅱ）已知△ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且c=3，g（C）=0．若向量与共线，求a，b的值．

正确答案

解：（Ⅰ）由函数的图象可得A=1，==，求得ω=2．

再根据五点法作图，可得2×+φ=π，求得φ=，∴f（x）=sin（2x+）．

把函数f（x）的图象向右平移个单位，再向下平移1个单位，

得到函数y=g（x）=sin[2（x-）+]-1=sin（2x-）-1的图象，即g（x）=sin（2x-）-1．

（Ⅱ）已知△ABC中，c=3，g（C）=sin（2C-）-1=0，∴sin（2C-）=1．

由0＜C＜π，可得-＜2C-＜，∴2C-=，C=．

∵向量与共线，∴==，∴b=2a．

再由余弦定理可得c2=9=a2+4a2-2•a•2a•cos，求得a=，∴b=2．

解析

解：（Ⅰ）由函数的图象可得A=1，==，求得ω=2．

再根据五点法作图，可得2×+φ=π，求得φ=，∴f（x）=sin（2x+）．

把函数f（x）的图象向右平移个单位，再向下平移1个单位，

得到函数y=g（x）=sin[2（x-）+]-1=sin（2x-）-1的图象，即g（x）=sin（2x-）-1．

（Ⅱ）已知△ABC中，c=3，g（C）=sin（2C-）-1=0，∴sin（2C-）=1．

由0＜C＜π，可得-＜2C-＜，∴2C-=，C=．

∵向量与共线，∴==，∴b=2a．

再由余弦定理可得c2=9=a2+4a2-2•a•2a•cos，求得a=，∴b=2．

题型：填空题

填空题

把函数y=cos（2x+）的图象向右平移φ个单位，所得的图象正好关于y轴对称，则φ的最小正值为______．

正确答案

解析

解：设y=f（x）=cos（2x+），则函数y=cos（2x+）的图象向右平移φ个单位，

所得的图象对应的解板式为y=f（x+φ）=cos[2（x-φ）+]，即y=cos（2x-2φ+），

∵平移后的图象正好关于y轴对称，

∴y=cos（2x-2φ+）的图象与函数y=cos2x或y=-cos2x的图象重合，

∴-2φ+=kπ（k∈Z），取k=1，得φ的最小正值为，

故答案为：

题型：填空题

填空题

（2015•衡阳县校级三模）把函数y=sinx（x∈R）的图象上所有的点向左平移个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到的图象所表示的函数解析式为______．

正确答案

y=sin（x+）

解析

解：把函数y=sinx（x∈R）的图象上所有的点向左平移个单位长度，可得y=sin（x+）的图象；

再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），可得y=sin（x+）的图象；

故得到的图象所表示的函数解析式为y=sin（x+），

故答案为：y=sin（x+）．

题型：简答题

简答题

若的图象关于直线对称，其中．

（1）求f（x）的解析式；

（2）将y=f（x）的图象向左平移个单位，再将得到的图象的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变）后得到y=g（x）的图象，求y=g（x）的解析式；

（3）若函数y=g（x）（）的图象与y=a的图象有三个交点且交点的横坐标成等比数列，求a的值．

正确答案

解：（1）∵的图象关于直线对称，

∴，

解得．

又∵，

∴k=0，ω=1，

∴．

（2）将的图象向左平移个单位后，得到的图象的函数解析式为y=cos2x，

再将y=cos2x图象的横坐标变为原来的2倍后得到y=g（x）的图象，所以g（x）=cosx．

（3）设函数g（x）=cosx（）的图象与y=a的图象有三个交点的横坐标为：

（x1，a），（x2，a），（x3，a），且．

则由已知，结合图象的对称性有，解得，

∴．

解析

解：（1）∵的图象关于直线对称，

∴，

解得．

又∵，

∴k=0，ω=1，

∴．

（2）将的图象向左平移个单位后，得到的图象的函数解析式为y=cos2x，

再将y=cos2x图象的横坐标变为原来的2倍后得到y=g（x）的图象，所以g（x）=cosx．

（3）设函数g（x）=cosx（）的图象与y=a的图象有三个交点的横坐标为：

（x1，a），（x2，a），（x3，a），且．

则由已知，结合图象的对称性有，解得，

∴．

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