函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换_章节学习

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题型：单选题

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单选题

将函数f（x）=sin（2x）的图象向左平移个单位，得到g（x）的图象，则g（x）的解析式为（　　）

Ag（x）=cos2x

Bg（x）=-cos2x

Cg（x）=sin2x

Dg（x）=sin（2x+）

正确答案

A

解析

解：将函数f（x）=sin（2x）的图象向左平移个单位，

得到g（x）=sin[2（x+）+]=sin（2x+）=cos2x，

g（x）的解析式：g（x）=cos2x，

故选A．

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题型：简答题

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简答题

已知函数．

（1）求函数f（x）的最小正周期和单调增区间；

（2）函数f（x）的图象可以由函数y=sin2x（x∈R）的图象经过怎样的变换得到？

正确答案

解：（1）由函数，可得周期等于 T==π．

由求得，

故函数的递增区间是．

（2）由条件可得．

故将y=sin2x的图象向左平移个单位，再向上平移个单位，即可得到f（x）的图象．

解析

解：（1）由函数，可得周期等于 T==π．

由求得，

故函数的递增区间是．

（2）由条件可得．

故将y=sin2x的图象向左平移个单位，再向上平移个单位，即可得到f（x）的图象．

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题型：单选题

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单选题

一观览车的主架示意图如图所示，其中O为轮轴的中心，距地面32m（即OM长），巨轮的半径为30m，AM=BP=2m，巨轮逆时针旋转且每12分钟转动一圈．若点M为吊舱P的初始位置，经过t分钟，该吊舱P距离地面的高度为h（t）m，则h（t）=（　　）

A30sin（t-）+30

B30sin（t-）+30

C30sin（t-）+32

D30sin（t-）

正确答案

B

解析

解：设巨轮转动时距离地面的高度h与时间t之间的函数关系式为：h=Asin（ωt+φ）+b，

∵巨轮逆时针旋转且每12分钟转动一圈，

∴T==12，解得ω=，

又巨轮的半径为30m，即A=30，又观览车的轮轴的中心距地面32m，AM=2m，

∴b=30，

∴h=30sin（t-）+30，

故选：B．

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题型：简答题

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简答题

已知函数f（x）=sin（ωx+φ）-b（ω＞0，0＜φ＜π）的图象两相邻对称轴之间的距离是，若将f（x）的图象先向右平移个单位，再向上平移2个单位，所得函数g（x）为奇函数．

（1）求f（x）的解析式；

（2）求f（x）的单调区间；

（3）若对任意x∈[0，]，不等式f2（x）-（2+m）f（x）+2+m≤0恒成立，求实数m的取值范围．

正确答案

解：（1）由题意可得，函数的周期为 =2×，求得ω=2．

将f（x）的图象先向右平移个单位，再向上平移2个单位，所得函数g（x）=sin[2（x-）+φ]+2-b=sin（2x+φ-）+2-b 为奇函数，

∴φ-=kπ，k∈z，且2-b=0，结合0＜φ＜π解得 φ=，b=2，

故函数的解析式为 f（x）=sin（2x+）-2．

（2）令 2kπ-≤2x+≤2kπ+，k∈z，求得 kπ-≤x≤kπ+，

故函数的增区间为[kπ-，kπ+]，k∈z．

（3）若对任意x∈[0，]，2x+∈[，π]，sin（2x+）∈[0，1]，f（x）∈[-2，-1]．

令sin（2x+）-2=t，则t∈[-2，-1]，不等式f2（x）-（2+m）f（x）+2+m≤0 即 t2-（2+m）t+2+m≤0，

令g（t）=t2-（2+m）t+2+m，∴，解得m≤-，故m的范围是（-∞，-]．

解析

解：（1）由题意可得，函数的周期为 =2×，求得ω=2．

将f（x）的图象先向右平移个单位，再向上平移2个单位，所得函数g（x）=sin[2（x-）+φ]+2-b=sin（2x+φ-）+2-b 为奇函数，

∴φ-=kπ，k∈z，且2-b=0，结合0＜φ＜π解得 φ=，b=2，

故函数的解析式为 f（x）=sin（2x+）-2．

（2）令 2kπ-≤2x+≤2kπ+，k∈z，求得 kπ-≤x≤kπ+，

故函数的增区间为[kπ-，kπ+]，k∈z．

（3）若对任意x∈[0，]，2x+∈[，π]，sin（2x+）∈[0，1]，f（x）∈[-2，-1]．

令sin（2x+）-2=t，则t∈[-2，-1]，不等式f2（x）-（2+m）f（x）+2+m≤0 即 t2-（2+m）t+2+m≤0，

令g（t）=t2-（2+m）t+2+m，∴，解得m≤-，故m的范围是（-∞，-]．

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题型：简答题

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简答题

已知函数（x∈R），

（1）求函数f（x）的最小正周期和单调增区间；

（2）函数f（x）的图象可以由函数y=sinx（x∈R）的图象经过怎样的变换得到？

正确答案

解：（1）

=2cosx（sinxcos+cosxsin）-sin2x+sin2x+2

=2sin（2x+）+2

∴最小正周期T==π，当2kπ-≤2x+≤2kπ+时，即kπ-≤x≤kπ+，函数单调增

∴函数的单调增区间为：[kπ-，kπ+]（k∈Z）

（2）由函数y=sinx纵坐标不变，横坐标缩小到倍得到y=sin2x，再向左平移个单位得到函数y=sin（2x+），横坐标不变，纵坐标扩大2倍得到y=2sin（2x+），再把图象向上平移2个单位得到函数y=2sin（2x+）+2

解析

解：（1）

=2cosx（sinxcos+cosxsin）-sin2x+sin2x+2

=2sin（2x+）+2

∴最小正周期T==π，当2kπ-≤2x+≤2kπ+时，即kπ-≤x≤kπ+，函数单调增

∴函数的单调增区间为：[kπ-，kπ+]（k∈Z）

（2）由函数y=sinx纵坐标不变，横坐标缩小到倍得到y=sin2x，再向左平移个单位得到函数y=sin（2x+），横坐标不变，纵坐标扩大2倍得到y=2sin（2x+），再把图象向上平移2个单位得到函数y=2sin（2x+）+2

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