函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
共2159题

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函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
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题型：简答题

简答题

已知向量=（1，2cos2x-1），=（sin2x，1），函数f（x）=•

（1）求f（x）单调递减区间；

（2）f（x）向右平移个长度单位，再向下平移个长度单位，得到g（x）的图象，求g（x）在[0，]上的值域．

正确答案

解：向量=（1，2cos2x-1），=（sin2x，1），

函数f（x）=•==2sin（2x+）．

（1）由2kπ+≤2x+≤2kπ+，即，k∈Z时，

∴f（x）的单调递减区间为，k∈Z．

（2）f（x）=2sin（2x+）向右平移个长度单位，得到函数=2sin（2x-）．再向下平移个长度单位，得到g（x）=2sin（2x-）-的图象，

∵x∈[0，]，∴2x-∈，

sin（2x-）∈，

2sin（2x-）-∈．

函数的值域：．

解析

解：向量=（1，2cos2x-1），=（sin2x，1），

函数f（x）=•==2sin（2x+）．

（1）由2kπ+≤2x+≤2kπ+，即，k∈Z时，

∴f（x）的单调递减区间为，k∈Z．

（2）f（x）=2sin（2x+）向右平移个长度单位，得到函数=2sin（2x-）．再向下平移个长度单位，得到g（x）=2sin（2x-）-的图象，

∵x∈[0，]，∴2x-∈，

sin（2x-）∈，

2sin（2x-）-∈．

函数的值域：．

题型：填空题

填空题

为了得到函数y=sin（2x+）图象，只需将函数y=sin（2x）的图象向左平移φ个单位，则正数φ的最小值为______．

正确答案

解析

解：将函数y=sin（2x）的图象向左平移φ个单位，可得函数y=sin2（x+φ）=sin（2x+2φ）的图象，

再根据所得图象对应的函数为函数y=sin（2x+），可得2φ=，求得 φ=，

故答案为：．

题型：简答题

简答题

已知函数f（x）=2sin（x+）cos（x+）+sin2x+a的最大值为1．

（Ⅰ）求常数a的值；

（Ⅱ）求函数f（x）的单调递增区间；

（Ⅲ）若将f（x）的图象向左平移个单位，得到函数g（x）的图象，求函数g（x）在区间[0，]上的最大值和最小值．

正确答案

解：（Ⅰ）∵函数f（x）=2sin（x+）cos（x+）+sin2x+a=cos2x+sin2x+a=2sin（2x+）+a≤2+a=1，

∴a=-1．

（Ⅱ）令2kπ-≤2x+≤2kπ+，k∈z，求得 kπ-≤x≤kπ+，故函数f（x）的单调递增区间为[kπ-，kπ+]，k∈z，

（Ⅲ）∴将f（x）的图象向左平移个单位，得到函数g（x）的图象，

∴g（x）=f（x+）=2sin[2（x+）+]-1=2sin（2x+）-1．

当x∈[0，]时，2x+∈[，]，故当2x+=时，函数f（x）取得最大值为-1，

当2x+=时，函数f（x）取得最小值为-2-1=-3．

解析

解：（Ⅰ）∵函数f（x）=2sin（x+）cos（x+）+sin2x+a=cos2x+sin2x+a=2sin（2x+）+a≤2+a=1，

∴a=-1．

（Ⅱ）令2kπ-≤2x+≤2kπ+，k∈z，求得 kπ-≤x≤kπ+，故函数f（x）的单调递增区间为[kπ-，kπ+]，k∈z，

（Ⅲ）∴将f（x）的图象向左平移个单位，得到函数g（x）的图象，

∴g（x）=f（x+）=2sin[2（x+）+]-1=2sin（2x+）-1．

当x∈[0，]时，2x+∈[，]，故当2x+=时，函数f（x）取得最大值为-1，

当2x+=时，函数f（x）取得最小值为-2-1=-3．

题型：单选题

单选题

将函数的图象向右平移a（a＞0）个单位长度，所得图象对应的函数是偶函数，则a的最小值是（　　）

正确答案

解析

解：设y=f（x）=，则函数图象向右平移a（a＞0）个单位后，

得到y=g（x）=f（x-a）==2sin[x-（a+）]，

∵平移后得到一个偶函数的图象，

∴g（-x）=g（x），可得2sin[-x-（a+）]=2sin[x-（a+）]，

即sin[x+（a+）+π]=sin[x-（a+）]，

∴x+（a+）+π=[x-（a+）]+2kπ（k∈Z），解之得a=-+kπ（k∈Z），

∵a＞0，∴取k=1得a=达到最小值，即得a的最小值为．

故选：C

题型：填空题

填空题

把函数的图象沿x轴平移|φ|个单位，所得图象关于原点对称，则|φ|的最小值是 ______．

正确答案

解析

解：将函数的图象沿x轴平移|φ|个单位后得到

∵图象关于原点对称

∴=-

∴cosxcos+sinxsin=-cosxcos+sinxsin

∴cos=0∴

∴φ=-+kπ，∴当k=1时，|φ|=最小

故答案为：

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