函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
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函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
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题型：单选题

单选题

已知函数f（x）=2sin（2x+φ）（x∈R）的图象的一部分如图所示，将函数f（x）的图象向左平移α（α＞0）个单位后得到的图象关于y轴对称，则α的最小值为（　　）

正确答案

解析

解：由函数的图象利用五点法作图可得2×+φ=，∴φ=，函数f（x）=2sin（2x+），

将函数f（x）的图象向左平移α（α＞0）个单位后得到的图象对应的解析式为y=2sin[2（x+α）+]，

再根据所得函数的图象关于y轴对称，

则有 2α+=kπ+，k∈z，

即α=-，

∴α的最小值为，此时，k=1，

故选：B．

题型：单选题

单选题

要得到函数的图象可将函数的图象上的所有点（　　）

A向右平行移动个长度单位

B向左平行移动个长度单位

C向右平行移动个长度单位

D向左平行移动个长度单位

正确答案

解析

解：∵x-=（x-）+

∴函数的图象y=sin[（x-）+]=sin（x-），

∴C正确．

故选C．

题型：单选题

单选题

已知函数y=g（x）的图象由f（x）=sin2x的图象向右平移φ（0＜φ＜x）个单位得到，这两个函数的部分图象如图所示，则φ=（　　）

正确答案

解析

解：f（x）=sin2x的图象在y轴的右侧的第一个对称轴为2x=，

∴x=，-=，

图象中与函数值相同的右侧相邻点的横坐标为，

故φ=-=，

故选：C．

题型：简答题

简答题

已知函数f（x）=2cos2x+2sinxcosx-1（x∈R）

（Ⅰ）若角α的终边经过点P（-，），求f（α）的值；

（Ⅱ）函数f（x）的图象可以由函数y=sinx（x∈R）的图象经过怎样的变换得到的．

正确答案

解：（Ⅰ）由三角函数公式化简可得：

f（x）=2cos2x+2sinxcosx-1

=2cos2x-1+2sinxcosx

=cos2x+sin2x=sin（2x+），

∵角α的终边经过点P（-，），故可取α=，

故f（α）=sin（+）=-cos=-1；

（Ⅱ）先把函数y=sinx的图象左移个单位得到y=sin（x+）的图象，

再纵坐标不变横坐标变为原来的的到y=sin（2x+）的图象，即函数f（x）的图象．

解析

解：（Ⅰ）由三角函数公式化简可得：

f（x）=2cos2x+2sinxcosx-1

=2cos2x-1+2sinxcosx

=cos2x+sin2x=sin（2x+），

∵角α的终边经过点P（-，），故可取α=，

故f（α）=sin（+）=-cos=-1；

（Ⅱ）先把函数y=sinx的图象左移个单位得到y=sin（x+）的图象，

再纵坐标不变横坐标变为原来的的到y=sin（2x+）的图象，即函数f（x）的图象．

题型：简答题

简答题

设函数f（x）=，其中=（2cosx，1）=（cosx，sin2x），x∈R．

（1）求函数f（x）在区间上的单调递增区间；

（2）求f（x）在上取的最大值时向量与的夹角；

（3）若函数y=2sin2x的图象按向量=（m，n）（|m|＜）平移后得到函数y=f（x）的图象，求m，n的值．

正确答案

解：（1）由题意可得函数f（x）==2cos2x+sin2x=1+cos2x+sin2x=1+2sin（2x+），

令 2kπ-≤（2x+）≤2kπ+，k∈z，求得 kπ-≤x≤kπ+，k∈z，故函数的增区间为[kπ-，kπ+]，k∈z，

故函数f（x）在区间上的单调递增区间为．

（2）由于f（x）=1+2sin（2x+），当 x∈时，有2x+∈[-，]，故当2x+=时，函数取得最大值为3．

此时，x=，中=（2cosx，1）=（，1 ），=（cosx，sin2x）=（，），

cos＜，＞===，故＜，＞=．

（3）把函数y=2sin2x的图象按向量=（m，n）（|m|＜）平移后得到函数y=2sin2（x-m）+n的图象，此图象与函数f（x）=1+2sin（2x+）的图象重合，

故有-m=，n=1，即 m=-，n=1．

解析

解：（1）由题意可得函数f（x）==2cos2x+sin2x=1+cos2x+sin2x=1+2sin（2x+），

令 2kπ-≤（2x+）≤2kπ+，k∈z，求得 kπ-≤x≤kπ+，k∈z，故函数的增区间为[kπ-，kπ+]，k∈z，

故函数f（x）在区间上的单调递增区间为．

（2）由于f（x）=1+2sin（2x+），当 x∈时，有2x+∈[-，]，故当2x+=时，函数取得最大值为3．

此时，x=，中=（2cosx，1）=（，1 ），=（cosx，sin2x）=（，），

cos＜，＞===，故＜，＞=．

（3）把函数y=2sin2x的图象按向量=（m，n）（|m|＜）平移后得到函数y=2sin2（x-m）+n的图象，此图象与函数f（x）=1+2sin（2x+）的图象重合，

故有-m=，n=1，即 m=-，n=1．

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