函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
共2159题

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函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
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题型：单选题

单选题

如果若干个函数的图象经过平移后能够重合，则称这些函数“互为生成”函数，给出下列函数：

①f（x）=sinx-cosx，

②f（x）=（sinx+cosx），

③f（x）=sinx+2，

④f（x）=sinx，其中互为生成的函数是（　　）

A①②

B①③

C③④

D②④

正确答案

解析

解：根据题意，两个y=Asin（ωx+∅）+b 型函数互为生成的函数的条件是，这两个函数的解析式中的A和ω相同，

∵①f（x）=sinx-cosx=sin（x-），②f（x）=（sinx+cosx）=2sin（x+），

③f（x）=sinx+2，④f（x）=sinx．

故①③两个函数解析式中的A和ω相同，故这两个函数的图象通过平移能够完全重合．

故①③互为生成的函数，

故选B．

题型：填空题

填空题

（2015•朝阳二模）将函数y=sin2x-2sin2x的图象沿x轴向右平移a（a＞0）个单位长度，所得函数的图象关于y轴对称，则a的最小值是______．

正确答案

解析

解：将函数y=sin2x-2sin2x=sin2x+cos2x-1=2sin（2x+）-1的图象沿x轴向右平移a（a＞0）个单位长度，

可得y=2sin[2（x-a）+]-1=2sin（2x-2a+）-1的图象；

再根据所得函数的图象关于y轴对称，可得-2a+=kπ+，k∈Z，则a=--，故a的最小值是，

故答案为：．

题型：简答题

简答题

函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的一段图象如图所示．

（1）求f（x）的解析式；

（2）求f（x）的单调减区间，并指出f（x）的最大值及取到最大值时x的集合；

（3）把f（x）的图象向左至少平移多少个单位，才能使得到的图象对应的函数为偶函数．

正确答案

解：（1）由函数的图象可得A=3，T=•=4π-，解得ω=．

再根据五点法作图可得×+φ=0，求得φ=-，∴f（x）=3sin（x-）．

（2）令2kπ-≤x-≤2kπ+，k∈z，求得 5kπ-π≤x≤5kπ+，故函数的增区间为[5kπ-π，5kπ+]，k∈z．

函数的最大值为3，此时，x-=2kπ+，即 x=5kπ+，k∈z，即f（x）的最大值为3，及取到最大值时x的集合为{x|x=5kπ+，k∈z}．

（3）设把f（x）=3sin（x-）的图象向左至少平移m个单位，才能使得到的图象对应的函数为偶函数[即y=3sin（x+）]．

则由（x+m）-=x+，求得m=π，

把函数f（x）=3sin（x-）的图象向左平移π个单位，可得y=3sin（x+）=3cosx 的图象．

解析

解：（1）由函数的图象可得A=3，T=•=4π-，解得ω=．

再根据五点法作图可得×+φ=0，求得φ=-，∴f（x）=3sin（x-）．

（2）令2kπ-≤x-≤2kπ+，k∈z，求得 5kπ-π≤x≤5kπ+，故函数的增区间为[5kπ-π，5kπ+]，k∈z．

函数的最大值为3，此时，x-=2kπ+，即 x=5kπ+，k∈z，即f（x）的最大值为3，及取到最大值时x的集合为{x|x=5kπ+，k∈z}．

（3）设把f（x）=3sin（x-）的图象向左至少平移m个单位，才能使得到的图象对应的函数为偶函数[即y=3sin（x+）]．

则由（x+m）-=x+，求得m=π，

把函数f（x）=3sin（x-）的图象向左平移π个单位，可得y=3sin（x+）=3cosx 的图象．

题型：填空题

填空题

把函数y=sin2x的图象向左、向上分别分别平移1个单位后，得到函数f（x）的图象，则f（x）=______．

正确答案

sin（2x+2）+1

解析

解：把函数y=sin2x的图象向左平移1个单位后，得到函数y=sin（2x+2），向上平移1个单位得到函数y=sin（2x+2）+1，即可得到函数f（x）的图象；

故答案为：sin（2x+2）+1．

题型：单选题

单选题

已知函数，则要得到其导函数y=f′（x）的图象，只需将函数y=f（x）的图象（　　）

A向左平移个单位

B向右平移个单位

C向左平移个单位

D向右平移个单位

正确答案

解析

解：∵=-sin（）

∴y=f′（x）=

而

故选C

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