函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
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函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
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题型：简答题

简答题

（2015春•九江校级月考）已知函数f（x）=（ω＞0），其最小正周期为．

（1）求f（x）的解析式；

（2）将函数f（x）的图象向右平移个单位，再将图象上个点横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到函数y=g（x）的图象，若关于x的方程g（x）+k=0，在区间上有且只有两个实数解，求实数k的取值范围．

（3）若不等式上恒成立，求实数m的取值范围．

正确答案

解：（1）f（x）==sin（2ωx）+-

=sin（2ωx+）-1 的最小正周期为=，求得ω=2．

故函数f（x）=sin（4x+）-1．

（2）将函数f（x）的图象向右平移个单位，可得y=sin[4（x-）+]-1=sin（4x-）-1的图象；

再将图象上个点横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到函数y=g（x）=sin（2x-）-1的图象．

若关于x的方程g（x）+k=0，在区间上有且只有两个实数解，

即直线y=-k和g（x）的图象在区间上有且只有两个交点．

当x∈[0，]上，2x-∈[-，]，sin（2x-）∈[-，1]，g（x）∈[--1，0]．

故-k∈[-1，0），即 k∈（0，-+1]．

（3）若不等式上恒成立，

即当x∈[0，]时，恒有 m-1＜f（x）＜m+1．

而当x∈[0，]时，4x+∈[，]，sin（4x+）∈[-，1]，

f（x）=sin（4x+）-1∈[-，0]，

∴m-1＜-，m+1＞0，求得-1＜m＜-．

解析

解：（1）f（x）==sin（2ωx）+-

=sin（2ωx+）-1 的最小正周期为=，求得ω=2．

故函数f（x）=sin（4x+）-1．

（2）将函数f（x）的图象向右平移个单位，可得y=sin[4（x-）+]-1=sin（4x-）-1的图象；

再将图象上个点横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到函数y=g（x）=sin（2x-）-1的图象．

若关于x的方程g（x）+k=0，在区间上有且只有两个实数解，

即直线y=-k和g（x）的图象在区间上有且只有两个交点．

当x∈[0，]上，2x-∈[-，]，sin（2x-）∈[-，1]，g（x）∈[--1，0]．

故-k∈[-1，0），即 k∈（0，-+1]．

（3）若不等式上恒成立，

即当x∈[0，]时，恒有 m-1＜f（x）＜m+1．

而当x∈[0，]时，4x+∈[，]，sin（4x+）∈[-，1]，

f（x）=sin（4x+）-1∈[-，0]，

∴m-1＜-，m+1＞0，求得-1＜m＜-．

题型：填空题

填空题

函数f（x）=4sin（2x-）+1，条件p：≤x≤，条件q：-2＜f（x）-m＜2，若p不是q的充分条件，则实数m的取值范围是______．

正确答案

（-∞，3]∪[5，+∞）

解析

解：若p是q的充分条件，

则P⊊Q，

∵P={x|≤x≤}，

∴此时f（x）∈[3，5]

又∵Q={x|-2＜f（x）-m＜2}={x|m-2＜f（x）＜m+2}．

∴，解得m∈（3，5）．

∴p不是q的充分条件的m的范围是（-∞，3]∪[5，+∞）．

故答案为：（-∞，3]∪[5，+∞）．

题型：单选题

单选题

将函数y=cos（x-）的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将所得图象向左平移个单位，则所得函数图象对应的解析式是（　　）

Ay=cosx

By=cos（2x-）

Cy=sin（2x-）

Dy=sin（x-）

正确答案

解析

解：由题意可得：

若将函数y=cos（x-）图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），即周期变为原来的两倍，

所以可得函数y=cos（x-），

再将所得的函数图象向左平移个单位，可得y=cos[（x+）-]=cos（x-）=sin（x-）．

故选D．

题型：简答题

简答题

已知函数．

（Ⅰ）已知：，求函数f（x）单调减区间；

（Ⅱ）若函数f（x）按向量平移后得到函数g（x），且函数g（x）=2cos2x，求向量．

正确答案

解：（Ⅰ）

=．由，∴，

∴当k=-1时，∴；当k=0时，∴，

又∵，，或，

所以，函数f（x）单调减区间为：和．

（Ⅱ），

把 f（x）==2sin2（x+ ）项左平移个单位，再向下平移1个单位，即得g（x）的解析式，

故，所以，向量．

解析

解：（Ⅰ）

=．由，∴，

∴当k=-1时，∴；当k=0时，∴，

又∵，，或，

所以，函数f（x）单调减区间为：和．

（Ⅱ），

把 f（x）==2sin2（x+ ）项左平移个单位，再向下平移1个单位，即得g（x）的解析式，

故，所以，向量．

题型：简答题

简答题

已知向量=（sinx，1），=（Acosx，cos2x）（A＞0），函数f（x）=•的最大值为6．

（Ⅰ）求A；

（Ⅱ）将函数y=f（x）的图象向左平移个单位，再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到函数y=g（x）的图象，求g（x）在[0，]上的值域．

（Ⅲ）若函数y=f（x）满足方程f（x）=k（3＜k＜6），求此方程在[0，]内所有实数根之和．

正确答案

解：（Ⅰ）∵f（x）=•=Asinxcosx+cos2x=Asin2x+cos2x=Asin（2x+），

又A＞0，∴f（x）max=A=6；

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）=6sin（2x+），将函数y=f（x）的图象向左平移个单位，得f（x+）=6sin[2（x+）+）]=6sin（2x+），

再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得g（x）=6sin（4x+），

∵x∈[0，]，∴（4x+）∈[，]，

∴sin（4x+）∈[-，1]，6sin（4x+）∈[-3，6]，

即g（x）在[0，]上的值域为[-3，6]．

（Ⅲ）∵f（x）=6sin（2x+），

∴当x∈[0，]时，∴（2x+）∈[，]，

∴sin（2x+）∈[-1，1]，6sin（2x+）∈[-6，6]，

作出y=6sin（2x+），x∈[0，]的图象，如下：

设y=k与y=6sin（2x+），x∈[0，]的图象交点的横坐标分别为x1、x2、x3（自左向右），

则x1+x2=×2=

x2+x3=×2=；

又y=6sin（2x+）的周期T=π，∴x1+x3=π；

∴2（x1+x2+x3）=++π=，

∴x1+x2+x3=，即此方程在[0，]内所有实数根之和为．

解析

解：（Ⅰ）∵f（x）=•=Asinxcosx+cos2x=Asin2x+cos2x=Asin（2x+），

又A＞0，∴f（x）max=A=6；

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）=6sin（2x+），将函数y=f（x）的图象向左平移个单位，得f（x+）=6sin[2（x+）+）]=6sin（2x+），

再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得g（x）=6sin（4x+），

∵x∈[0，]，∴（4x+）∈[，]，

∴sin（4x+）∈[-，1]，6sin（4x+）∈[-3，6]，

即g（x）在[0，]上的值域为[-3，6]．

（Ⅲ）∵f（x）=6sin（2x+），

∴当x∈[0，]时，∴（2x+）∈[，]，

∴sin（2x+）∈[-1，1]，6sin（2x+）∈[-6，6]，

作出y=6sin（2x+），x∈[0，]的图象，如下：

设y=k与y=6sin（2x+），x∈[0，]的图象交点的横坐标分别为x1、x2、x3（自左向右），

则x1+x2=×2=

x2+x3=×2=；

又y=6sin（2x+）的周期T=π，∴x1+x3=π；

∴2（x1+x2+x3）=++π=，

∴x1+x2+x3=，即此方程在[0，]内所有实数根之和为．

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